中山大学-432统计学-2021年

一、选择题(每小题3分, 共30分)

  1. 设 X{X} 和 Y{Y} 都服从标准正态分布, 则 ( ).
    (A) X+YX+Y 服从正态分布;
    (B) X2+Y2X^{2}+Y^{2} 服从卡方分布;
    (C) X2X^{2} 和 Y2Y^{2} 都服从卡方分布;
    (D) X2/Y2X^{2} / Y^{2} 服从 F\mathrm{F} 分布.

  1. 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 为来自二项分布 B(m,p)B(m, p) 的样本, Xˉ\bar{X} 和 S2=S^{2}= 1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} 分别为样本均值和样本方差, Xˉ+cS2\bar{X}+c S^{2} 为 mp2m p^{2} 的无偏估计量, 则 c=()c=().
    (A) c=−2c=-2;
    (B) c=−1c=-1;
    (C) c=1c=1;
    (D) c=2c=2.

  1. 已知 X∼exp⁡(θ)X \sim \exp (\theta), 则 P(X>EX)=()P(X>E X)=().
    (A) 1−e−11-e^{-1};
    (B) 1−e−21-e^{-2};
    (C) e−1e^{-1};
    (D) e−2e^{-2}.

  1. 已知 X1,⋯ ,Xn∼ iid exp⁡(1),FnX_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{\text { iid }}{\sim} \exp (1), F_{n} 是 X(n)X_{(n)} 的 cdf, 则 lim⁡n→∞Fn(100)=(\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}(100)=( ).
    (A) 0 ;
    (B) 0.50.5;
    (C) 1 ;
    (D) 不存在.

  1. 下列说法错误的是 ( ).
    (A) 如果 Xn⟶X,a.sX_{n} \longrightarrow X, a . s., 那么 Xn⟶pXX_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} X;
    (B) 如果 E(Xn−X)2⟶0E\left(X_{n}-X\right)^{2} \longrightarrow 0, 那么 Xn⟶XX_{n} \longrightarrow X, a.s.;
    (C) 概率具有单调性, 下连续性, 有限可加性;
    (D) 分布函数具有单调性, 有界性, 并且是几乎处处可导的.

  1. 设 h(x)=[x]h(x)=[x], 已知 ξ∼exp⁡(θ)\xi \sim \exp (\theta), 则 h(ξ)h(\xi) 的分布是 ( ).
    (A) 泊松分布, 参数为 e−θe^{-\theta};
    (B) 几何分布, 参数为 e−θe^{-\theta};
    (C) 泊松分布, 参数为 1−e−θ1-e^{-\theta};
    (D) 几何分布, 参数为 1−e−θ1-e^{-\theta}.

  1. 已知独立双样本 X1,⋯ ,Xn∼iidN(0,σX2),Y1,⋯ ,Ym∼iidN(0,σY2)X_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} N\left(0, \sigma_{X}^{2}\right), Y_{1}, \cdots, Y_{m} \stackrel{i i d}{\sim} N\left(0, \sigma_{Y}^{2}\right), 原假设为 σX=σY\sigma_{X}=\sigma_{Y}. 问样本方差之比 SX2/SY2S_{X}^{2} / S_{Y}^{2} 在原假设为真时服从的分布是 ( ).
    (A) F(n,m)F(n, m);
    (B) F(m,n)F(m, n);
    (C) F(n−1,m−1)F(n-1, m-1);
    (D) F(m−1,n−1)F(m-1, n-1).

  1. 一个人连续射击, 直到把子弹打完为止, 每次射击打中目标的概率为 1/21 / 2. 枪 中含有的子弹个数为随机变量, 取值为 {1,2,3}\{1,2,3\}, 概率均为 1/31 / 3, 则打中目标至少一次 的概率是（).
    (A) 17/2417 / 24;
    (B) 7/247 / 24;
    (C) 3/43 / 4;
    (D) 1/41 / 4.

  1. 已知 (X,Y)∼f(x,y)=3(1−y)I[0<x<y<1](X, Y) \sim f(x, y)=3(1-y) I[0<x<y<1], 则 P(X+Y<1)=()P(X+Y<1)=().
    (A) 3/83 / 8;
    (B) 5/85 / 8;
    (C) 5/165 / 16;
    (D) 3/43 / 4.

  1. 已知 Xi∼iidN(μ,σ2),E[c∑i=1n−1(Xi+1−Xi)2]=σ2X_{i} \stackrel{i i d}{\sim} N\left(\mu, \sigma^{2}\right), E\left[c \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2}\right]=\sigma^{2}, 则 c=()c=().
    (A) 12n\frac{1}{2 n};
    (B) 12n−1\frac{1}{2 n-1};
    (C) 12n−2\frac{1}{2 n-2};
    (D) 1n\frac{1}{n}.

二、(20分) 已知 Y∼N(μY,σ2),X∣Y=y∼N(ay+b,2σ2)Y \sim N\left(\mu_{Y}, \sigma^{2}\right), X \mid Y=y \sim N\left(a y+b, 2 \sigma^{2}\right), 计算:
(1) EXE X;
(2) DXD X;
(3) ρX,Y\rho_{X, Y};
(4) (X,Y)(X, Y) 的联合分布.


三、(20 分) 已知独立同分布的随机变量 X1,⋯ ,Xn,XiX_{1}, \cdots, X_{n}, X_{i} 的取值为 1,3,271,3,27 的概率分别为 1/2,1/4,1/41 / 2,1 / 4,1 / 4, 试用中心极限定理估计

3n−n≤∏i=1nXi≤3n+n3^{n-\sqrt{n}} \leq \prod_{i=1}^{n} X_{i} \leq 3^{n+\sqrt{n}}

发生的概率.


四、(20分) 已知 X1,⋯ ,Xn∼iidf(x;λ)=2λπexp⁡(−x2λ)I[x>0],λ>0X_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} f(x ; \lambda)=\frac{2}{\sqrt{\lambda \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{\lambda}\right) I[x>0], \lambda>0 是未知参数.
(1) 使用一阶矩计算 λ\lambda 的矩估计;
(2) 请问 (1) 中的这个矩估计是不是无偏估计? 如果不是, 请求出 λ\lambda 的一个无偏矩估计.


五、(20分) 已知 X1,⋯ ,Xn∼iidb(1,p),0<p<1X_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} b(1, p), 0<p<1 是未知参数. 令 q=1−pq=1-p, 试求:
(1) qkq^{k} 的 MLE;
(2) qkq^{k} 的 UMVUE.


六、(20分) 已知 X1,⋯ ,Xn∼iidf(x;θ)=aθ(xθ)a−1I[0<x<θ]X_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} f(x ; \theta)=\frac{a}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{a-1} I[0<x<\theta], 其中 a>0a>0 是已知常数, θ>0\theta>0 是未知参数.
(1) 计算 θ\theta 的 MLE;
(2) Xi/θX_{i} / \theta 服从什么分布?
(3) 证明 X(n)/θX_{(n)} / \theta 是枢轴量;
(4) 利用 (3) 中的枢轴量构建 θ\theta 的 1−α1-\alpha 置信区间.


七、(20分) 已知 X1,⋯ ,Xn∼iidU(0,θ),θX_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} U(0, \theta), \theta 是未知参数. 对假设检验问题

H0:θ=θ0 vs H1:θ=θ1H_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { vs } \quad H_{1}: \theta=\theta_{1}

给出水平为 α\alpha 的 UMP 拒绝域, (其中 0<θ0<θ10<\theta_{0}<\theta_{1} ).