北大叉院-849统计学-2021年

一、(10分) 事件$A,B$独立, 且$P(B-A)=P(A-B)=\frac{1}{4}$,求$P(A),P(B)$.

二、(10分) 盒中有100个球, 分别编号1-100, 现从中抽出10个.

(1)(5分) 有放回抽球, 求10个球编号和的期望;

(2)(5分) 无放回抽取, 求10个球编号和的期望.

三、(15分) 现有1000名顾客, 无偏颇地选择两家剧院, 每家剧院皆有$N$个座位, 顾客进入剧院如果观察到座位已满则会被迫离开, 试确定合适的$N$, 使得因无座而流失的顾客不超过1%.

(1) 用二项分布给出表达式;

(2) 借助正态近似求解$N$.

四、(15分) $f(x)=\frac{A}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2+2x+1}$是$X$的概率密度函数, 求

(1) $A$;

(2) $\mathrm{E}X$和$\mathrm{Var}(X)$.

五、(15分) $X,Y$独立同服从标准正态分布, $Z=5X+4Y$, $Z=5X-4Y$, 求

(1)(7分) $\mathrm{E}Z$,$\mathrm{E}W$与$\mathrm{Cov}(Z,W)$;

(2)(8分) $(Z,W)$的联合概率密度.

六、(15分) $(X,Y)$有联合概率密度$f(x,y)=\frac{A}{1+x^2+y^2}$.

(1)(7分) 求常数$A$;

(2)(8分) $\mathrm{Var}(X)$与$\mathrm{Var}(Y)$是否存在?

七、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是来自总体$U(a,b)$的随机样本, 求$a,b$的矩估计和最大似然估计, 并判断无偏性.

八、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是来自总体$N(\mu,1)$的随机样本, $Y_1,\cdots,Y_m$是来自总体$N(\mu,4)$的随机样本, 两组样本独立, 令

$$T=a\sum_{i=1}^n{X_i}+b\sum_{j=1}^m{Y_j},$$

求$a,b$的值使得$T$无偏且方差最小.

九、(20分) 已知$y_i=a+bx_i+\varepsilon_i$, $i=,\cdots,n$, 残差独立同服从标准正态分布, 有样本相关系数

$$r=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) ^2}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\bar{y} \right) ^2}}}.$$

(1)(6分) 求$a,b$的最小二乘估计;

(2)(7分) 求最小二乘估计的分布;

(3)(7分) 证明: $r^{2}=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( \hat{y}_i-\bar{y} \right) ^2}}{\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\bar{y} \right) ^2}}$

十、(20分) 对于某种疾病, 社会患病率为$\alpha$, 若一人患病, 他被准确测出患病的概率为$\gamma$, 若一人不患病, 他被准确测为不患病的概率是$r$. 现有一人在$n$次独立测试中被测出$k$次患病, 求他的确患病的概率.