复旦大学861-861概率论与数理统计-2021年

一、 (20 分) 随机变量 X,YX, Y 相互独立, 均服从参数为 pp 的几何分布, 记 Z=Z= max⁡{X,Y}\max \{X, Y\}, 试求

(1) 随机向量 (Z,X)(Z, X) 的联合分布;

(2) XX 关于 ZZ 的条件分布.


二、 (20 分) 将 kk 个不同的球随机放人 nn 个盒子中 (k≥n)(k \geq n), 用 XX 表示空盒的个 数, 试求 EXE X 与 DXD X.


三、 (20 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自标准正态分布的随机样本, 尝试解决以下问题

(1) 试求 Sn=∑i=1nXiS_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} 的分布;

(2) 试求 lim⁡n→∞P(∣1nSn∣≤1n)\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} S_{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right).


四、(40 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自均匀分布 U(0,θ)U(0, \theta) 的简单随机样本, 解决以下问题

(1) 求 θ\theta 的矩估计及其均方误差;

(2) 求 θ\theta 的极大似然估计及其均方误差;

(3) 求 θ\theta 的充分完备统计量;

(4) 求 θ\theta 的一致最小方差无偏估计;

(5) 给出一个 1θ\frac{1}{\theta} 的无偏估计;


五、 (30 分) X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自泊松分布 Poisson⁡(θ)\operatorname{Poisson}(\theta) 的随机样本, 解决以下问题

(1) 求 θ\theta 的充分统计量;

(2) 基于该统计量求 θ\theta 的 1−α1-\alpha 置信区间;

(3) 这个置信区间具有哪些优良性?


六、 (20 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, 考虑假设检验问 题：

H0:μ≤μ0 vs H1:μ>μ0H_{0}: \mu \leq \mu_{0} \text { vs } H_{1}: \mu>\mu_{0}

(1) 假设 σ2=σ02\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2} 已知, 该假设检验问题是否存在一致最大功效拒绝域? 如果有请在检验水平 α\alpha 下给出它并说明理由, 如果无请说明理由并给出一个检验水平 α\alpha 的拒绝域;

(2) 假设 σ2\sigma^{2} 未知, 那么该假设检验问题是否存在一致最大功效拒绝域? 如果有请在检验水平 α\alpha 下给出它并说明理由, 如果无请说明理由并给出一个检验水平 α\alpha 的拒绝域.