北京大学-431金融学综合-2021年-解析

北京大学-431金融学综合-2021年

2021统计部分解析

一、(20分) 设 $(X,Y)$ 的密度函数是

$$f(x,y) = 2(x+y),\quad 0\le x\le y\le1.$$

(1)(10分) 求 $X,Y$的边际分布;
(2)(10分) 求 $X+Y$ 的分布.

Solution:

(1) 先求 $Y$ 的边际, 积分有

$$f_Y\left( y \right) =\int_0^y{2\left( x+y \right) dx}=y^2+2y^2=3y^2,\quad 0\le y\le 1.$$

再求 $X$ 的边际, 积分有

$$f_X\left( x \right) =\int_x^1{2\left( x+y \right) dy}=2x\left( 1-x \right) +\left( 1-x^2 \right) =1+2x-3x^2,\quad 0\le x\le 1.$$

(2) 作变量变换:

$$\begin{cases} U=X+Y,\\ V=Y,\\ \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u=x+y,\\ v=y,\\ \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=u-v,\\ y=v,\\ \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \left| J \right|=1,$$

因此有

$$f_{U,V}\left( u,v \right) =f\left( u-v,v \right) =2u,\quad 0\le v\le 1,v\le u\le 2v,$$

当 $u\in (0,1]$ 有 $\frac{u}{2}\le v \le u$, 当 $u \in(1,2)$, 有 $\frac{u}{2}\le v\le 1$, 因此积分得

$$f_U\left( u \right) =\int_{\frac{u}{2}}^{\min \left\{ u,1 \right\}}{2udv}=\begin{cases} u^2,& 0<u\le 1,\\ 2u-u^2,& 1<u<2.\\ \end{cases}$$

二、(15分) 为检验声波是否对心率有影响, 对 9 位测试者进行测试, 收集数据如下:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
无声波	69	73	76	68	79	71	75	73	74
有声波	75	80	75	81	74	84	81	75	78

(1)(3分) 求有声波和无声波时的平均心率差值.
(2)(8分) 求心率差的 $0.95$ 置信区间.
(3)(2分) 解释(2)问的意义.
(4)(2分) 根据(2)的结果判断, 声波对心率是否有显著影响.

[注]: 可能用到的分位数是 $t_{0.95}(9)=1.833$, $t_{0.975}(9)=2.262$, $t_{0.95}(8) = 1.860$, $t_{0.975}(8)=2.306$.

Solution:

(1) 作差计算得

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
差值	6	7	-1	13	-5	13	6	2	4

计算得平均值为 $\bar{x}= 5$. 此外计算出样本标准差是 $s=5.916$.

(2) 假设心率差 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 有枢轴量

$$T=\sqrt{n}\frac{\bar{x}-\mu}{s}\sim t\left( n-1 \right) ,$$

有置信区间为 $\bar{x}\pm t_{0.975}\left( n-1 \right) \frac{s}{\sqrt{n}}$, 代入得

$$\left[ 5-\frac{2.306}{3}\cdot 5.916,5+\frac{2.306}{3}\cdot 5.916 \right] =\left[ 0.453,9.547 \right] .$$

(3) 我们有 $95\%$ 的把握, 认为 $\mu$ 的真实值处于区间$\left[ 0.453,9.547 \right]$ 中.

(4) 置信区间和假设检验的对偶关系: 双侧置信区间不包含 $\mu_0$ 当且仅当双侧假设检验问题

$$H_0:\mu = \mu_0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq \mu_0$$

的原假设被拒绝.

在本题中, 考虑 $H_0:\mu =0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0$. 由于 $95\%$ 置信区间中不含 $0$, 因此该问题的原假设被拒绝, 我们认为声波对心率会产生显著影响.

三、(20分) 某电视台在考虑缩短广告时间节约成本, 但担心缩短广告时间会导致广告效果产生负面影响, 收集数据如下:

	20s广告	25s广告	30s广告	合计
有印象	16	32	12	60
无印象	44	38	58	140
合计	60	70	70	200

(1)(2分) 写出 $H_0$ 和 $H_1$;
(2)(5分) 求各单元格期望计数;
(3)(8分) 求检验结果;
(4)(5分) 针对检验结果, 给出你的建议.

Solution: (1) 原假设应为广告时长不影响广告效果, 即

$$H_0: \text{广告效果与广告时长独立} \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \text{不独立}$$

(2) 期望计数即为独立情形下预计出现的数量, 由于

$$\hat{p}_{1\cdot}=\frac{60}{200}=0.3,\quad \hat{p}_{2\cdot}=\frac{70}{200}=0.35,\quad \hat{p}_{3\cdot}=0.35,$$

$$\hat{p}_{\cdot 1}=0.3,\quad \hat{p}_{\cdot 2} = 0.7.$$

而 $E[n_{ij}]=n\cdot \hat{p}_{i\cdot}p_{\cdot j}$, 因此有

	20s广告	25s广告	30s广告	合计
有印象期望	18	21	21	60
无印象期望	42	49	49	140
合计	60	70	70	200

(3) 可计算出对应的差值 (实测$-$期望) 是

	20s广告	25s广告	30s广告
有印象差值	-2	11	-9
无印象差值	2	-11	9

得到列联表检验统计量

$$\chi ^2=\sum_{i,j}{\frac{\left( n_{ij}-E\left( n_{ij} \right) \right) ^2}{E\left( n_{ij} \right)}}=14.059,$$

原假设成立时有 $\chi^2\sim \chi^2((3-1)(2-1))=\chi^2(2)$, 拒绝域是

$$W=\{\chi^2 \ge \chi^2_{0.95}(2)\},$$

回忆起 $Y\sim \chi^2(2)=Exp(\frac{1}{2})$, 令 $P\left( Y>c \right) =e^{-\frac{c}{2}}=0.05$, 解得

$$\chi _{0.95}^{2}\left( 2 \right) =c=-2\ln \left( 0.05 \right) =5.99146,$$

显然此时 $14.059>5.99146$, 落入拒绝域, 故认为广告时长与广告效果不独立.

(3) 可以发现: $25$s 时长的广告效果是最好的. 因此可以将 $30$s 的广告缩减时间到 $25$s, 既可以节省成本, 又增强了广告效果.

四、(20分) 设有线性模型 $Y=a+bX+c\sin X+e$, 其中 $e\sim N(0,d)$. 假设收集到独立数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$.

(1)(10分) 求 $a,b,c,d$ 的极大似然估计 $\hat{a},\hat{b},\hat{c},\hat{d}$.
(2)(5分) 求 $\hat{a},\hat{b},\hat{c}$ 的分布.
(3)(5分) 根据该模型, 如何判断 $Y$ 与 $X$ 是否存在明显的线性关系?

Solution: (1) 似然函数是

$$L\left( a,b,c,d \right) =\left( 2\pi d \right) ^{-\frac{n}{2}}\exp \left\{ -\frac{1}{2d}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i-c\sin x_i \right) ^2} \right\} ,$$

对数似然函数是

$$\ell \left( a,b,c,d \right) =C-\frac{n}{2}\ln d-\frac{1}{2d}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i-c\sin x_i \right) ^2},$$

求导有

$$\begin{cases} \frac{\partial \ell}{\partial a}=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i-c\sin x_i \right) ,}& \left( 1 \right)\\ \frac{\partial \ell}{\partial b}=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^n{x_i\left( y_i-a-bx_i-c\sin x_i \right) ,}& \left( 2 \right)\\ \frac{\partial \ell}{\partial c}=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^n{\sin x_i\left( y_i-a-bx_i-c\sin x_i \right) ,}& \left( 3 \right)\\ \frac{\partial \ell}{\partial d}=-\frac{n}{2d}+\frac{1}{2d^2}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i-c\sin x_i \right) ^2},& \left( 4 \right)\\ \end{cases}$$

令它们为 $0$, 且记$z_i=\sin x_i$, 由 $(4)$ 直接得

$$\hat{d}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{a}-\hat{b}x_i-\hat{c}\sin x_i \right) ^2},$$

再由 $(1)$ 直接得 $\hat{a} = \bar{y}-\hat{b} \bar{x} -\hat{c}\bar{z}$. 整理 $(2)$ 得

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n{x_i\left( y_i-a-bx_i-cz_i \right)}&=\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\hat{a}-\hat{b}x_i-\hat{c}z_i \right)}\\ &=\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( \left( y_i-\bar{y} \right) -\hat{b}\left( x_i-\bar{x} \right) -\hat{c}\left( z_i-\bar{z} \right) \right)}\\ &=l_{xy}-\hat{b}l_{xx}-\hat{c}l_{xz},\\ \end{aligned}$$

即 $\hat{b}l_{xx}+\hat{c}l_{xz}=l_{xy}$, 同理由 $(3)$ 得 $\hat{b}l_{xz}+\hat{c}l_{zz}=l_{zy}$. 即有线性方程组

$$\begin{cases} l_{xx}\cdot \hat{b}+l_{xz}\cdot \hat{c}=l_{xy},\\ l_{xz}\cdot \hat{b}+l_{zz}\cdot \hat{c}=l_{zy},\\ \end{cases}$$

根据克拉默法则, 解得

$$\hat{b}=\frac{l_{xy}l_{zz}-l_{xz}l_{zy}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}},\quad \hat{c}=\frac{l_{xx}l_{zy}-l_{xy}l_{xz}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}.$$

代入得

$$\hat{a} = \bar{y}-\hat{b} \bar{x} -\hat{c}\bar{z}, \quad \hat{d}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{a}-\hat{b}x_i-\hat{c}\sin x_i \right) ^2}.$$

(2) 根据线性回归结论, 有 $\hat{\beta} \sim N(\beta,Vd)$, 其中 $V=Q^{-1}=(X^TX)^{-1}$, 此处

$$Q= X^TX=\left( \begin{matrix} n& \sum{x_i}& \sum{z_i}\\ \sum{x_i}& \sum{x_{i}^{2}}& \sum{x_iz_i}\\ \sum{z_i}& \sum{x_iz_i}& \sum{z_{i}^{2}}\\ \end{matrix} \right) ,$$

若记 $V=(v_{ij})$, 则有

$$\hat{a}\sim N\left( a,v_{11}d \right) ,\quad \hat{b}\sim N\left( b,v_{22}d \right) ,\quad \hat{c}\sim N\left( c,v_{33}d \right) ,$$

根据逆矩阵计算公式, 有

$$v_{ij}=\frac{1}{\det \left( Q \right)}\left( -1 \right) ^{i+j}Q_{ij}.$$

先计算行列式, 有

$$\left| Q \right|\xlongequal{\begin{array}{c} \left( 2 \right) +\left( -\bar{x} \right) \cdot \left( 1 \right)\\ \left( 3 \right) +\left( -\bar{z} \right) \cdot \left( 1 \right)\\ \end{array}}\left| \begin{matrix} n& \sum{x_i}& \sum{z_i}\\ 0& \sum{x_{i}^{2}}-n\bar{x}^2& \sum{x_iz_i}-n\bar{x}\bar{z}\\ 0& \sum{x_iz_i}-n\bar{x}\bar{z}& \sum{z_{i}^{2}}-n\bar{z}^2\\ \end{matrix} \right|=n\left( l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2} \right) .$$

因此有

$$\begin{aligned} v_{11}d&=\frac{d}{n\left( l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2} \right)}\left| \begin{matrix} \sum{x_{i}^{2}}& \sum{x_iz_i}\\ \sum{x_iz_i}& \sum{z_{i}^{2}}\\ \end{matrix} \right|=\frac{d}{n\left( l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2} \right)}\left| \begin{matrix} l_{xx}+n\bar{x}^2& l_{xz}+n\bar{x}\bar{z}\\ l_{xz}+n\bar{x}\bar{z}& l_{zz}+n\bar{z}\\ \end{matrix} \right|\\ &=\left( \frac{\bar{z}^2l_{xx}-2\bar{x}\bar{z}l_{xy}+\bar{x}^2l_{zz}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}+\frac{1}{n} \right) d.\\ \end{aligned}$$

以及

$$v_{22}d=\frac{d}{n\left( l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2} \right)}\left| \begin{matrix} n& \sum{z_i}\\ \sum{z_i}& \sum{z_{i}^{2}}\\ \end{matrix} \right|=\frac{l_{zz}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}d,$$

和

$$v_{33}d=\frac{d}{n\left( l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2} \right)}\left| \begin{matrix} n& \sum{x_i}\\ \sum{x_i}& \sum{x_{i}^{2}}\\ \end{matrix} \right|=\frac{l_{xx}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}d,$$

综上所述, 有

$$\begin{aligned} \hat{a}&\sim N\left( a,\left( \frac{\bar{z}^2l_{xx}-2\bar{x}\bar{z}l_{xy}+\bar{x}^2l_{zz}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}+\frac{1}{n} \right) d \right) ,\\ \hat{b}&\sim N\left( b,\frac{l_{zz}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}d \right) ,\quad \hat{c}\sim N\left( c,\frac{l_{xx}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}d \right) .\\ \end{aligned}$$

(3) 根据该模型, 如果 $Y$ 和 $X$ 具有线性关系, 那么系数 $\hat{b}$ 应该非常显著, 同时, 非线性关系项 $\sin X$ 对应的系数 $\hat{c}$ 不应显著.

2021微观部分真题

一、（5 分）奶茶店做奶茶，要加椰果和珍珠两种配料，剂量用 $X_1$ 和 $X_2$ 表示，奶茶消费者对一杯奶茶具有完全替代效用 $U = 2X_1 + 3X_2$，设两种配料对奶茶店的单位成本而言相同。请问奶茶店应该如何分配椰果和珍珠的比例？

Solution：

假设奶茶店的成本函数为 $C(X_1, X_2) = c(X_1 + X_2)$，其中 $c$ 为两种配料的单位成本。奶茶店的利润最大化问题为：

$$\pi = P_1 X_1 + P_2 X_2 - c(X_1 + X_2)$$

其中 $P_1$ 和 $P_2$ 分别为椰果和珍珠的售价。

消费者的效用函数为：

$$U = 2X_1 + 3X_2$$

消费者的预算约束为：

$$P_1 X_1 + P_2 X_2\leq I$$

其中 $I$ 为消费者的预算。

显然消费者最优决策：

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3}$$

• 若 $\frac{P_1}{P_2} < \frac{2}{3}$，则 $X_1 = \frac{I}{P_1}, X_2 = 0$；
• 若 $\frac{P_1}{P_2} > \frac{2}{3}$，则 $X_1 = 0, X_2 = \frac{I}{P_2}$；
• 若 $\frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3}$，则任意 $X_1 \geq 0, X_2 \geq 0$ 的组合都满足效用最大化。

企业：

$$\min C(X_1, X_2) = c(X_1 + X_2)$$

显然

• 若 $\frac{P_1}{P_2} \leq \frac{2}{3}$，此时$X_1 = \frac{I}{P_1}, X_2 = 0$，令$P_1$尽量大，最优决策应选择 $P_2 = \frac{3}{2} P_1$；
• 若 $\frac{P_1}{P_2} \geq \frac{2}{3}$，此时$X_1 = 0, X_2 = \frac{I}{P_2}$，令$P_2$尽量大，最优决策应选择 $P_2 = \frac{3}{2} P_1$。

因此，最优价格比例为 $\frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3}$,不难发现此时有只卖椰果和只卖珍珠两种决策，显然只卖珍珠奶茶店利润较高。奶茶店应优先提供配料 $X_2$（珍珠），不提供配料 $X_1$（椰果）。

注：此题完全不需要数理分析，从经济学意义而言，椰果和珍珠对奶茶店同等成本，珍珠和椰果对消费者来说又是完全互补品，且珍珠的效用更高，显然只放珍珠更能“以较低成本让消费者满意”，从而赚取利润。如果一定要数理分析，也可以考虑固定一个目标效用$u$和一个给定预算$I$，求成本最小化即可。

二、(20 分) 两个雇员工资都是 $M$，消费者两种商品价格分别为 $P_1$ 和 $P_2$，雇员 1 的效用函数是 $U_1 = X_{11}^{0.5} + X_{12}^{0.5}$，雇员 2 的效用函数是 $U_2 = X_{21}^{0.5} X_{22}^{0.5}$，现在企业要解雇一名雇员，两名雇员有相同的几率被辞退，被裁员者的收入为 0。

1. (10 分) 假设两名雇员之间签订一份契约，不管谁被解雇了，都和对方平分自己的收入（$M/2$），那么两名雇员都有动机签订契约么？

2. (10 分) 现在假设两名雇员都认为对方会不守信用而不履行契约，有违约风险，于是想找一名律师并支付 $x$ 的律师费，将契约写成一份合同。不管谁被解雇，在合同生效时，一方支付 $T$ 的补偿金，保证两人收入一样。请问使得两名雇员都能接受支付 $x$ 的最大值是多少？

Solution：

(1) 先看雇员 1。如果签订合约：
无论谁被辞退，收入都是 $0.5M$。

$$\max U_1 = x_{11}^{0.5} + x_{12}^{0.5}$$

约束条件为：

$$P_1 x_{11} + P_2 x_{12} = 0.5M$$

解得：

$$x_{11} = \frac{0.5M \cdot P_2}{P_1 + P_2}, \quad x_{12} = \frac{0.5M \cdot P_1}{P_1 + P_2}$$

对应的效用为：

$$U_1(0.5M) = \frac{\sqrt{0.5M}}{\sqrt{P_1 + P_2}} \left( \sqrt{\frac{P_2}{P_1}} + \sqrt{\frac{P_1}{P_2}} \right)$$

如果不签订合约：
有 $0.5$ 的概率收入为 $0$，对应效用为 $0$；
有 $0.5$ 的概率收入为 $M$，对应效用为 $U_1(M)$。

$$U_1(M) = \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{P_1 + P_2}} \left( \sqrt{\frac{P_2}{P_1}} + \sqrt{\frac{P_1}{P_2}} \right)$$

期望效用为：

$$EU_1 = 0.5 \times U_1(M)$$

即：

$$EU_1 = 0.5 \times \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{P_1 + P_2}} \left( \sqrt{\frac{P_2}{P_1}} + \sqrt{\frac{P_1}{P_2}} \right)$$

因为 $U_1(0.5M) > 0.5 \times U_1(M)$，因此 雇员 1 应该签订合约。

再看雇员 2，如果签订合约：

$$\max U_2 = x_{21}^{0.5} x_{22}^{0.5}$$

约束条件为：

$$P_1 x_{21} + P_2 x_{22} = 0.5M$$

解得：

$$x_{21} = \frac{M}{4P_1}, \quad x_{22} = \frac{M}{4P_2}$$

对应的效用为：

$$U_2(0.5M) = \frac{M}{4} \frac{1}{\sqrt{P_1 P_2}}$$

如果不签订合约：
有 $0.5$ 的概率收入为 $0$，对应效用为 $0$；
有 $0.5$ 的概率收入为 $M$，对应效用为 $U_2(M)$。

$$U_2(M) = \frac{M}{2} \frac{1}{\sqrt{P_1 P_2}}$$

期望效用为：

$$EU_2 = 0.5 \times U_2(M) = \frac{M}{4} \frac{1}{\sqrt{P_1 P_2}} = U_2(0.5M)$$

因此 雇员 2 签订与不签订合约无差异。

(2) 根据题意，补偿金额为 $T=0.5M$，不管谁被辞退，收入都是相同的，无风险。

对于雇员 1 来说：

$$U_1(0.5M - x) = \sqrt{\frac{0.5M - x}{P_1 + P_2}} \left( \sqrt{\frac{P_2}{P_1}} + \sqrt{\frac{P_1}{P_2}} \right)$$

对于雇员 2 来说：

$$U_2(0.5M - x) = \frac{0.5M - x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{P_1 P_2}}$$

如果不找律师：

雇员 1 的期望效用为：

$$EU_1 = 0.5 \times \sqrt{\frac{M}{P_1 + P_2}} \left( \sqrt{\frac{P_2}{P_1}} + \sqrt{\frac{P_1}{P_2}} \right)$$

雇员 2 的期望效用为：

$$EU_2 = 0.5 \times U_2(M) = \frac{M}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{P_1 P_2}}$$

对于雇员 1 来说，$x$ 必须满足：

$$U_1(0.5M - x) \geq EU_1 \quad \Rightarrow \quad 0.5M - x \geq 0.25M$$

因此，解得：

$$x \leq 0.25M$$

对于雇员 2 来说，任何 $x > 0$ 都不可行。因此，雇员 2 会选择不找律师。

因此，补偿金额 $x$ 的最大值为 $0.25M$。

注：此题难度主要在于理解题意：当聘请律师后，究竟补偿金额为多少？此处确实存在歧义，但我们应该这样去思考：对2来说是不会找律师的，如果他没有失业，也自然会给对方$0.5M$而不是更多，因为他无权与1一起承担风险；那么当2被解雇时，他对于$0.5M$的需求也是自然的。对1来说，由于签订合约是有利的，所以他会促成此事，为此承担一个律师费，而不是让2一起承担，所以他被解雇后只会有$0.5M-x$，未被解雇也是$0.5M-x$。

三、(15 分)有两种消费者，200 名高收入消费者愿意花 20 元购买商品，300 名低收入消费者愿意花 10 元购买商品，厂商成本 5 元，询问：

1. (7 分) 若厂商不能区分两类消费者，要如何定价才能利润最大化？

2. (8 分) 现在可以购买大数据技术区分二类消费者，请问厂商愿意花多少钱购买技术？

Solution：

(1) 在不能区分消费者的情况下，厂商必须采用统一价格。厂商有两种选择：要么保留两类消费者，要么只保留一类消费者。

保留两类消费者：只能收取低收入者的保留价格，即 10 元。厂商利润为：

$$\pi_b = (10 - 5) \times 500 = 2500$$

保留一类消费者：收取高收入消费者的保留价格，即 20 元。厂商利润为：

$$\pi_s = (20 - 5) \times 200 = 3000$$

因此，无法区分两类消费者的情况下，厂商选择保留高收入消费者，定价为 20 元，利润最大化为 3000 元。

(2) 在能区分两类消费者的情况下，厂商可以收取每类消费者的保留价格。记厂商花 $x$ 元购买技术，则厂商利润为：

$$\pi = (10 - 5) \times 300 + (20 - 5) \times 200 - x = 4500 - x$$

厂商购买技术后总利润应不小于 3000 元，因此有：

$$4500 - x \geq 3000$$

解得：

$$x \leq 1500$$

因此，厂商最多愿意花 1500 元购买该技术。

四、(15 分)三个厂商进行博弈，每个厂商可以选择进入或者不进入，厂商进入后的收入为 $150/n$，厂商生产成本为 $c$，$c \in (50, 75)$。

1. (6 分) 求出所有的纯策略纳什均衡。

2. (7 分) 求出唯一对称的混合纳什均衡。

3. (2 分) 与混合纳什均衡中的行为有何关系？

Solution：

(1) 纳什均衡满足互为最优原则。我们分析三种情况：

情况 1：所有三个企业都进入

每个企业的利润为：

$$\pi_i = \frac{150}{3} - c < 0$$

因此，纳什均衡下不可能有三个企业都选择进入市场。

情况 2：只有一个企业进入

例如，（进入，不进入，不进入）。进入的企业利润为：

$$\pi = 150 - c > 0$$

而不进入的企业利润为 0。如果未进入的企业选择进入，利润为：

$$\pi = 75 - c > 0$$

因此，一个企业进入的情形不是纳什均衡。

情况 3：两个企业进入

例如，（进入，进入，不进入）。此时，进入企业的利润为：

$$\pi = 75 - c > 0$$

不进入的企业利润为 0，如果它选择进入，利润为：

$$\pi = 50 - c < 0$$

因此，这种情况下的均衡是纳什均衡。

纯策略纳什均衡有三种情况：

$$\text{(进入，进入，不进入)，(进入，不进入，进入)，(不进入，进入，进入)}。$$

(2) 设每个企业选择进入的概率为 $p$，均衡时“进入”与“不进入”带来的期望利润应无差异。

企业不进入，利润为 0。

企业进入时，利润期望为：

$$(50 - c)p^2 + (150 - c)(1 - p)p + 2p(1 - p)(75 - c)$$

化简为：

$$50p^2 - 150p + 150 - c = 0$$

解得：

$$p = \frac{150 - \sqrt{150^2 - 200 \cdot (150 - c)}}{100} = \frac{15 - \sqrt{2c - 75}}{10}$$

其中 $p \in (0, 1)$。

(3) 当成本 $c \to 50$ 时，进入的概率 $p \to 1$。这说明当进入市场的成本降低时，企业更有可能选择进入市场。

五、(20 分)
张三和李四进行二阶段博弈，行动集为 $\sigma = \{L, R\}$。第一阶段，张三先行动选择 $A \in \sigma$；第二阶段，李四观察到张三的行动后选择 $B \in \sigma$，后行动者可以看到先行动者的选择。
两人的收益根据行动的结果有如下关系：

• 如果 $A = B = L$，则张三获得的收益为 3，李四获得的收益为 1；
• 如果 $A = B = R$，则张三获得的收益为 1，李四获得的收益为 3；
• 如果 $A \neq B$，则两人获得的收益都为 0。

1. (7 分) 请求出子博弈精炼均衡。

2. (7 分) 请求出和第一个问不同的纯策略纳什均衡，它是子博弈精炼均衡吗？

3. (6 分) 现在假设在第二阶段开始之前，获得选择是否（无成本）观察张三行动的权利，请求出相同条件下与第二问一致的子博弈精炼均衡。

Solution：

(1) 根据题目给出的博弈树，张三先行动，李四后行动。我们通过逆向归纳法求解。

(i) 如果张三选择 $L$，李四会选择 $L$，因为此时李四的收益为 1，大于选择 $R$ 的收益 0。因此，在张三选择 $L$ 时，李四选择 $L$，二人的收益为 $(3,1)$。

(ii) 如果张三选择 $R$，李四会选择 $R$，因为此时李四的收益为 3，大于选择 $L$ 的收益 0。因此，在张三选择 $R$ 时，李四选择 $R$，二人的收益为 $(1,3)$。

因此，子博弈精炼纳什均衡为 $\{L,(L,R)\}$。

(2) 根据博弈的扩展形式，我们可以写出如下收益矩阵：

	(L, L)	(L, R)	(R, L)	(R, R)
L	$(\underline{3}, \underline{1})$	$(\underline{3}, \underline{1})$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
R	$(0, 0)$	$(1, 3)$	$(0, 0)$	$(\underline{1}, \underline{3})$

左侧为张三的策略，上方为李四的策略。
由此可知，共有三个纯策略纳什均衡：

$$\{L,(L,L)\}, \{L,(L,R)\}, \{R,(R,R)\}$$

其中， $\{R,(R,R)\}$ 是与第一个问题不同的纯策略纳什均衡, 它不是子博弈精炼均衡,因为张三首先会选择L，并且这样李四也会选择L，这个均衡结果并不在$\{R,(R,R)\}$中。

(3) 序贯均衡：
我们需要在李四的决策中加入一个“观察”或者“不观察”的选项。
注意审题：均衡结果与第二问一致的子博弈精炼均衡。
首先考虑李四观察：那么均衡结果与第一问一致，与第二问不一致。
所以李四一定不观察，此时由于李四是后做决策，实际上是一个静态博弈：张三无论选择什么，李四的选择都应该是一致，有没有可能李四以一定的概率选择L和R呢，不可能，这首先不符合均衡结果，其次也不会是子博弈精炼均衡。
所以，李四只会选择（不观察，$R$），因为（不观察，$L$）也不会出现这样的均衡结果，此时只需要考虑张三怎样选择结果是子博弈精炼均衡，显然是$R$。
结论：
{$R,(不观察，R$)}为所求子博弈精炼均衡。