北京大学-431金融学综合-2021年

2021统计部分真题

一、(20分) 设 $(X,Y)$ 的密度函数是

f(x,y) = 2(x+y),\quad 0\le x\le y\le1.

(1)(10分) 求 $X,Y$ 的边际分布;
(2)(10分) 求 $X+Y$ 的分布.

二、(15分) 为检验声波是否对心率有影响, 对 9 位测试者进行测试, 收集数据如下:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
无声波	69	73	76	68	79	71	75	73	74
有声波	75	80	75	81	74	84	81	75	78

(1)(3分) 求有声波和无声波时的平均心率差值.
(2)(8分) 求心率差的 $0.95$ 置信区间.
(3)(2分) 解释(2)问的意义.
(4)(2分) 根据(2)的结果判断, 声波对心率是否有显著影响.

[注]: 可能用到的分位数是 $t_{0.95}(9)=1.833$ , $t_{0.975}(9)=2.262$ , $t_{0.95}(8) = 1.860$ , $t_{0.975}(8)=2.306$ .

三、(20分) 某电视台在考虑缩短广告时间节约成本, 但担心缩短广告时间会导致广告效果产生负面影响, 收集数据如下:

	20s广告	25s广告	30s广告	合计
有印象	16	32	12	60
无印象	44	38	58	140
合计	60	70	70	200

(1)(2分) 写出 $H_0$ 和 $H_1$ ;
(2)(5分) 求各单元格期望计数;
(3)(8分) 求检验结果;
(4)(5分) 针对检验结果, 给出你的建议.

四、(20分) 设有线性模型 $Y=a+bX+c\sin X+e$ , 其中 $e\sim N(0,d)$ . 假设收集到独立数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$ .

(1)(10分) 求 $a,b,c,d$ 的极大似然估计 $\hat{a},\hat{b},\hat{c},\hat{d}$ .
(2)(5分) 求 $\hat{a},\hat{b},\hat{c}$ 的分布.
(3)(5分) 根据该模型, 如何判断 $Y$ 与 $X$ 是否存在明显的线性关系?

2021微观部分真题

一、（5 分）奶茶店做奶茶，要加椰果和珍珠两种配料，剂量用 $X_1$ 和 $X_2$ 表示，奶茶消费者对一杯奶茶具有完全替代效用 $U = 2X_1 + 3X_2$ ，设两种配料对奶茶店的单位成本而言相同。请问奶茶店应该如何分配椰果和珍珠的比例？

二、(20 分) 两个雇员工资都是 $M$ ，消费者两种商品价格分别为 $P_1$ 和 $P_2$ ，雇员 1 的效用函数是 $U_1 = X_{11}^{0.5} + X_{12}^{0.5}$ ，雇员 2 的效用函数是 $U_2 = X_{21}^{0.5} X_{22}^{0.5}$ ，现在企业要解雇一名雇员，两名雇员有相同的几率被辞退，被裁员者的收入为 0。

(10 分) 假设两名雇员之间签订一份契约，不管谁被解雇了，都和对方平分自己的收入（ $M/2$ ），那么两名雇员都有动机签订契约么？
(10 分) 现在假设两名雇员都认为对方会不守信用而不履行契约，有违约风险，于是想找一名律师并支付 $x$ 的律师费，将契约写成一份合同。不管谁被解雇，在合同生效时，一方支付 $T$ 的补偿金，保证两人收入一样。请问使得两名雇员都能接受支付 $x$ 的最大值是多少？

三、(15 分)有两种消费者，200 名高收入消费者愿意花 20 元购买商品，300 名低收入消费者愿意花 10 元购买商品，厂商成本 5 元，询问：

(7 分) 若厂商不能区分两类消费者，要如何定价才能利润最大化？
(8 分) 现在可以购买大数据技术区分二类消费者，请问厂商愿意花多少钱购买技术？

四、(15 分)三个厂商进行博弈，每个厂商可以选择进入或者不进入，厂商进入后的收入为 $150/n$ ，厂商生产成本为 $c$ ， $c \in (50, 75)$ 。

(6 分) 求出所有的纯策略纳什均衡。
(7 分) 求出唯一对称的混合纳什均衡。
(2 分) 与混合纳什均衡中的行为有何关系？

五、(20 分)张三和李四进行二阶段博弈，行动集为 $\sigma = \{L, R\}$ 。第一阶段，张三先行动选择 $A \in \sigma$ ；第二阶段，李四观察到张三的行动后选择 $B \in \sigma$ ，后行动者可以看到先行动者的选择。
两人的收益根据行动的结果有如下关系：

如果 $A = B = L$ ，则张三获得的收益为 3，李四获得的收益为 1；
如果 $A = B = R$ ，则张三获得的收益为 1，李四获得的收益为 3；
如果 $A \neq B$ ，则两人获得的收益都为 0。

(7 分) 请求出子博弈精炼均衡。
(7 分) 请求出和第一个问不同的纯策略纳什均衡，它是子博弈精炼均衡吗？
(6 分) 现在假设在第二阶段开始之前，获得选择是否（无成本）观察张三行动的权利，请求出相同条件下与前两问一致的子博弈精炼均衡。