中国科学技术大学-432统计学-2020年

一、(20分) 有甲乙两个工厂一起生产某产品, 甲生产占$40 \%$, 乙生产占 $60 \%$, 若甲生产次品率为 $1 \%$, 乙生产次品率为 $2 \%$, 现从生产物品中取出一件为次品, 问该物品为甲工厂生产的概率?

二、(15分) $X_1,\cdots,X_n$为独立同分布的正值随机变量, 求 $E\left[ \frac{X_i}{X_1+X_2+\cdots +X_n} \right] .$

三、(20分) 有来自总体$f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}I_{\{x>\theta\}}$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 请分别用$\bar{X}$与$X_{(1)}$构造$\theta$的$1-\alpha$置信区间, 并比较哪个更优?

四、(20分) 已知$X$有密度函数

$f\left( x \right) =\begin{cases} -\theta ^x\ln \theta ,& x>0,\\ 0,& x\le 0,\\ \end{cases}$

其中$\theta \in (0,1)$, $X_1,\cdots,X_n$是来自$X$的随机样本, 试求

(1) $\theta$的最大似然估计;

(2) $\frac{1}{\ln \theta}$的最大似然估计.

五、(15分) 已知$X_1,\cdots,X_n$是来自于指数分布$f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}I_{\{x>0\}}$的随机样本, 试求

(1) $X_{(1)}$和$X_{(n)}$的密度函数;

(2) $T=\frac{2\left( X_{\left( 1 \right)}+\left( n-1 \right) X_{\left( 2 \right)} \right)}{\theta}$的密度函数.

六、(20分) 设$X_1,\cdots,X_n$是来自$N(\mu_1,\sigma_1^2)$的随机样本, $Y_1,\cdots,Y_n$是来自$N(\mu_2,\sigma^2_2)$的随机样本.

(1) 对于假设检验问题$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$, 试给出检验全过程(备择假设是其对立);

(2) 如果$\sigma_1^2=\sigma_2^2$, 对于假设检验问题$H_0:\mu_1 < \mu_2$, 试给出检验全过程(备择假设是其对立).

七、(20分) 叙述 2×2 的列联表独立性检验原理.

八、(20分) 已知连续型随机变量$X_1,\cdots,X_m,Y_1,\cdots,Y_n$独立同分布, 令$\varphi(t)=I_{(t>0)}$, 记$T=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{\varphi \left( x_i-y_j \right)}}$, 试求

(1) $ET$;

(2) $Var(T)$.