中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2020年

一、(15分) 设 $A, B$ 为两个事件且 $\mathrm{P}(B)>0,$ 判断下面两个不等式的正误:

(1)(7分)$\mathrm{P}(A \mid B) \geq 1-\frac{\mathrm{P}\left(A^{c}\right)}{\mathrm{P}(B)}$;

(2)(8分)$\mathrm{P}(A \mid B) \leq 1-\frac{\mathrm{P}\left(A^{c}\right)-\mathrm{P}\left(B^{c}\right)}{\mathrm{P}(B)}$.

二、(15分) 设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 独立同分布, 共同分布的概率密度函数为 $f(x)=c e^{-c(x-a)}, x>a,$ 其中 $c>0$ 为常数. 记 $W_{n}=\min \left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\},$ 试问 $W_{n}$ 在依概率意义下收敛吗? 并求极限.

三、(15分) 设样本 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 为取自一总体的随机样本，该总体的概率密度函数为

$$f_{\theta}(x)=\frac{\theta}{2 \sqrt{x}} e^{-\theta \sqrt{x}}, \quad x>0$$

当 $x<0$ 时, $\quad f_{\theta}(x)=0 .$

(1)(7分) 求 $\theta$ 的极大似然估计;

(2)(8分) 求$\theta$的矩估计.

四、(15分) 一个工厂考虑如下的检验问题 $H_{0}: p \leq 0.1 \longleftrightarrow H_{1}: p>0.1,$ 其中 $p$ 是该工厂生 产的一批元件的废品率. 先随机抽取两个元件检测, 如果这两个皆是废品, 则拒绝 $H_{0}$; 否则,再抽取第 3 个元件检测, 若该元件为废品, 则拒绝 $H_{0}$. 在其它情形下, 接受 $H_{0}$. 求

(1)(7分)该检验的功效函数;

(2)(8分)该检验的真实水平.

五、(20分) 设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是从两点分布 $B(1, p)$ 中抽取的一组随机样本, $p \in[0,1]$
为未知参数.

(1)(10分) 求充分完备统计量;

(2)(10分) 求 $g(p)=p(1-p)$ 的最小方差无偏估计.

六、(20分) 设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是从正态总体 $N(\theta, 4)$ 取出的一组随机样本, 求检验问题

$$H_{0}: \theta \leq 2 \longleftrightarrow H_{1}: \theta>2$$

的水平 $\alpha$ 的一致最优检验.

七、(25分) 设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是从标准正态总体取出的一组随机样本, 试

(1)(10分)证明 $\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 与 $\left\{X_{1}^{2} / \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, \cdots, X_{n}^{2} / \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right\}$ 相互独立.

(2)(15分)求 $\left\{X_{1}^{2} / \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, \cdots, X_{n}^{2} / \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right\}$的联合密度函数.

八、(25分) $(X_1,Y_1),\cdots,(X_n,Y_n)$是来自以$x=0,y=0,x+y=\theta>0$围成的均匀分布总体的i.i.d.样本, 试求

(1)(10分) $\theta$的充分完备统计量.

(2)(15分) $e^{\theta}$的最小方差无偏估计.