南开大学-432统计学-2020年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

1. 随机变量$X$在1-3的正整数中等概率取值, 随机变量$Y$在1-$X$的正整数中等概率取值, 则$P(X=Y)=$( ).

A. 1;

B. 1/5

C. 11/18;

D. 1/2.

2. 已知$(X,Y)$服从以$(0,1),(1,1),(1,0)$三点组成的三角形上的均匀分布, 则$EY=$( ).

A. 1/2;

B. 2/3;

C. 1/3;

D. 1/6.

3. 随机变量$X$以0.5概率取1和-1, $Y$服从标准正态分布且与$X$独立, 则$XY$的分布函数的间断点个数是( ).

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

4. 已知命题$p:$随机变量$X$与$Y$相互独立; 命题$q:$ $X+Y$的特征函数是$X$与$Y$特征函数的乘积, 则( ).

A. $p$成立可推出$q$成立, 但反之不行;

B. $q$成立可推出$p$成立, 但反之不行;

C. 它们互为充要条件;

D. 以上说法都不对.

5. 如果总体的方差存在, 关于样本均值$\bar{X}$和样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$, 说法正确的是( ).

A. $\bar{X}$与$S^2$相互独立;

B. $\bar{X}$是总体期望的无偏估计, 但$S^2$不是总体方差的无偏估计;

C. $\bar{X}$不是总体期望的无偏估计, $S^2$是总体方差的无偏估计;

D. 它们分别是总体期望、方差的相合估计.

1. 有来自总体$X$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 问当$X$服从何种分布时, $\sum_{i=1}^n X_i$不是充分统计量? ( )

A. $X \sim \mathcal P(\lambda)$;

B. $X \sim Ge(p)$;

C. $X \sim N(\mu,1)$;

D. $X \sim U(\theta,\theta+1)$.

7. 有来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 其中$\mu,\sigma^2$未知, 考虑假设检验问题

$H_0:\mu = 70 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 70,$

给定显著性水平$\alpha$, 则拒绝域的形式是( ).

A. $\left\{ \left| \frac{\sqrt{n}\left( \bar{x}-70 \right)}{\sigma} \right|>z_{1-\alpha} \right\}$;

B. $\left\{ \left| \frac{\sqrt{n}\left( \bar{x}-70 \right)}{\sigma} \right|>z_{1-\alpha/2} \right\}$;

C. $\left\{ \left| \frac{\sqrt{n}\left( \bar{x}-70 \right)}{s} \right|>t_{1-\alpha}\left( n-1 \right) \right\}$;

D. $\left\{ \left| \frac{\sqrt{n}\left( \bar{x}-70 \right)}{s} \right|>t_{1-\alpha/2}\left( n-1 \right) \right\}$.

二、填空题(每题4分, 共32分)

1. 某班级有2001年出生的$n$个同学, 则没有任何两个人在同一天生日的概率是________.

2. 标准正态分布的特征函数是________.

3. 甲投掷2019次硬币, 乙投掷2018次硬币, 则甲投掷出的正面次数大于乙的概率是________.

4. 在单位圆上任取3点, 恰能连成锐角三角形的概率是________.

5. 已知$X_1,\cdots,X_n$独立同服从分布函数$F(x)$, 则$T=-2\sum_{i=1}^n{\ln F\left( X_i \right)}$的分布是________.

6. 已知$X\sim Exp(\lambda)$, 则$\lambda$的Fisher信息量是________.

7. 有来自总体$X \sim N(\mu, 4)$的$n$个随机样本,为使得使得 $\mu$ 的 95%置信区间长度不大于0.01, 则$n$至少应为________.

8. 设$A,B,C$是三个事件, 则其中不多于两个发生的事件可表示为________.

三、解答题(90分)

1.(10分)在$(0,1)$中随机取$n$点, 求最远2点的距离不超过1/2的概率.

2.(10分)已知当$X=x$时, $Y$服从$(0,x)$上的均匀分布, 又$X\sim Exp(1)$, 试求$EY$.

3.(10分)有来自总体$X$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}X_i$, 样本方差$S^2_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$, 求证: $S_{n}^{2}\xrightarrow{P}\sigma ^2$.

4.(10分) 设$X_1,\cdots,X_m$独立同服从$N(\mu,\sigma^2)$, $Y_1,\cdots,Y_n$独立同服从$N(\theta,\sigma^2)$, $S_X^2,S_Y^2$分别是这两个样本对应的样本方差, 求证

$S_w^2=\frac{(m-1)S_X^2+(n-1)S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(m+n-2).$

5.(15分) 现有甲、乙两种工艺, 挑选30名工人测试他们完成两种工艺所花费的时间, 分别记作$X_i,Y_i$. 若欲探究两种工艺所需工时的差异, 请回答:

(1) 若$X,Y$服从正态分布, 给出检验全过程;

(2) 若不知道$X,Y$的分布, 问应该怎么采取检验?

6.(15分) 有来自总体$\mathcal P(\theta)$的$n$个随机样本, 考虑假设检验问题:

$\mathrm{H}_0:\theta=2 \quad \mathrm{vs} \quad \mathrm{H}_1:\theta=3,$

有拒绝域$W=\{ \bar{x} \ge 2.8\}$, 问

(1) $n=5$时, 犯两类错误的概率分别是多少?

(2) $n$趋于无穷时, 犯两类错误的概率会有什么变化? 请说明.

7.(20分) 有来均匀分布总体$U(0,\theta)$的$n$个随机样本, 求$\theta$的

(1) 最大似然估计$\hat{\theta}$, 问其是否无偏, 并在$c\hat{\theta}$形式的估计量中找出使得均方误差最小的估计;

(2) 基于$\hat{\theta}$给出$\theta$的$1-\alpha$最短置信区间.