清华大学-432统计学-2020年

一、(30分) 有独立随机变量 XX、 YY, 其中 X∼U(0,1),Y∼U(0,2),X \sim U(0,1), Y \sim U(0,2), 求:

(1)(15分) 求随机向量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数;

(2)(15分) 求 Z=X+YZ=X+Y 的分布函数.


二、(30分) f(x)f(x) 是单调的有界连续函数, 且 f(0)=0,f(0)=0, 证明: X1,X2,X3,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{n} 依概率收敛于 0 的充分必要条件是 lim⁡n→∞Ef(∣Xn∣)=0\lim _{n \rightarrow \infty} E f\left(\left|X_{n}\right|\right)=0.


三、(50分)设有独立的随机变量 X1,X2,X3,⋯⋅,Xn,X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots \cdot, X_{n}, 其中 XiX_{i} 的密度函数为 fi(x)=eiθ−xI(x≥iθ)f_{i}(x)=e^{i \theta-x} I(x \geq i \theta).

(1)(10分) 证明 Sn=min⁡{Xi/i}S_{n}=\min \left\{X_{i} / i\right\} 是 θ\theta 的充分统计量;

(2)(10分) 基于 SnS_{n} 构建 θ\theta 的形如 [Sn+a,Sn+b]\left[S_{n}+a , S_{n}+b\right] 最短置信区间;

(3)(10分) 基于 SnS_{n} 构建 θ\theta 的无偏估计 GnG_{n};

(4)(10分) 证明 Tn=1n∑i=1nXi−1iT_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}-1}{i} 是 θ\theta 的无偏估计;

(5)(10分) 试计算 lim⁡n→∞Var⁡(Gn)Var⁡(Tn),\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{Var}\left(G_{n}\right)}{\operatorname{Var}\left(T_{n}\right)}, 并根据此说明二者的有效性.


四、(40分) 有简单随机样本 X1,X2,X3,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{n} 与 Y1,Y2,Y3,⋯ ,YmY_{1}, Y_{2}, Y_{3}, \cdots, Y_{m}, 其中 X1∼X_{1} \sim Beta(μ,1),Y1∼(\mu, 1), Y_{1} \sim Beta(θ,1)(\theta, 1) .

(1)(10分) 用似然比检验法给出 H0:μ=θH_{0}: \mu=\theta vs H1:μ≠θH_{1}: \mu \neq \theta 的检验法;

(2)(10分) 证明(1)中的检验也可由统计量

S=∑i=1nln⁡Xi∑i=1nln⁡Xi+∑j=1mln⁡YjS=\frac{\sum_{i=1}^{n} \ln X_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_{i}+\sum_{j=1}^{m} \ln Y_{j}}

等同给出;

(3)(10分) 当 H0H_{0} 成立时, SS 的分布;

(4)(10分) 基于(3)给出(1)中真实水平为 0.95 的检验.