北京大学数院-431金融学综合-2020年

一、(11分) 已知 (X,Y)(X, Y) 服从二元正态分布, X,YX, Y 同分布， FF 是 XX 的分布函数, EX=1,F(0)=110E X=1, F(0)=\frac{1}{10}.

(1)(5分) 求 P(1<Y<2)P(1<Y<2);

(2)(6分) 若 P(Y<2∣X≥2)=12,P(Y<2 \mid X \geq 2)=\frac{1}{2}, 求 P(max⁡{X,Y}>2)P(\max \{X, Y\}>2).


二、(11分) Yn=1n∑i=1ne2Xi,X1,X2,…,XnY_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} e^{2 X_{i}},X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 相互独立且同服从 U(0,1)U(0,1).

(1)(5分) 求 EYn,Var⁡(Yn)E Y_{n}, \operatorname{Var}\left(Y_{n}\right);

(2)(6分) 证明 YnY_{n} 依概率收敛到某个常数 y,y, 并求 yy.


三、(14分) Ω={ω1,ω2,ω3},P{ω1}=13,P{ω2}=16,P{ω3}=12⋅X(ω1)=2,X(ω2)=X(ω3)=0\Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right\}, P\left\{\omega_{1}\right\}=\frac{1}{3}, P\left\{\omega_{2}\right\}=\frac{1}{6}, P\left\{\omega_{3}\right\}=\frac{1}{2} \cdot X\left(\omega_{1}\right)=2, X\left(\omega_{2}\right)=X\left(\omega_{3}\right)=0.

(1)(4分) 求 XX 的分布函数;

(2)(5分) 已知 EY=2,P(Y=X∣X>0)=1,P(Y=X∣X=0)=34,E Y=2, P(Y=X \mid X>0)=1, \quad P(Y=X \mid X=0)=\frac{3}{4}, 求 YY 的概率分布;

(3)(5分) 证明 X,YX, Y 不独立也不相关.


四、(14分) X∼Exp⁡(λ),λ>1,Yk={−1,X≤k0,k<X≤2k,k=1,21,X>2kX \sim \operatorname{Exp}(\lambda), \lambda>1, \quad Y_{k}=\left\{\begin{array}{ll}-1, & \quad X \leq k \\ 0, & k<X \leq 2 k, k=1,2 \\ 1, & X>2 k\end{array}\right.

(1)(7分) 求 (Y1,Y2)\left(Y_{1}, Y_{2}\right) 的联合分布;

(2)(7分) 求 aa 的值(a∈[1,10]),a \in[1,10]), 使得 E(aY1+Y2)E\left(a Y_{1}+Y_{2}\right) 最大.


五、(11分) (1)(3分) 解释最小方差无偏估计的含义;

(2)(2分) 解释两类错误的含义;

(3)(3分) 解释非参数检验的含义;

(4)(3分) 解释回归分析中复相关系数的平方的含义.


六、(11分) 可能出现三种情况 MM,MN,NN,\mathrm{MM}, \mathrm{MN}, \mathrm{NN}, 这三种情况出现的概率分别是 p2,2p(1−p),(1−p)2,p^{2}, 2 p(1-p),(1-p)^{2}, 一次实验中三种情况分别出现的次数是 n1,n2,n3,n_{1}, n_{2}, n_{3}, 且次数都 ⩾10\geqslant 10 次.

(1)(5分) 求 pp 的最大似然估计;

(2)(6分) 试给出检验问题

H0:MM:MN:NN=1:2:1H_{0}: MM: MN: NN=1: 2: 1

的水平为 α\alpha 的拒绝域(备择假设是其对立).


七、(14分) ff 在 {(x1,…,xd):0≤xi≤1,i=1,…,d}\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right): 0 \leq x_{i} \leq 1, i=1, \ldots, d\right\} 上连续, 且

θ=∫01⋯∫01f(x1,…,xd)dx1…dxd\theta=\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} f\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right) d x_{1} \ldots d x_{d}

现有
服从 [0,1] 上均匀分布的独立随机变量 U0,U1,…,Und−1U_{0}, U_{1}, \ldots, U_{n d-1}, 令

θ^=1n∑i=1nf(Uid,Uid+1,…,Uid+d−1).\hat{\theta}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(U_{i d}, U_{i d+1}, \ldots, U_{i d+d-1}\right).

(1)(7分) 证明 θ^\hat{\theta} 是θ\theta的无偏、强相合估计;

(2)(7分) 构造 θ\theta 的近似 95%95 \% 置信区间.


八、(14分) 已知 yij=μ+αi+εij,y_{i j}=\mu+\alpha_{i}+\varepsilon_{i j}, 约束条件 ∑i=1sαi=0,\sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}=0, 对每个 i=1,2…,s,i=1,2 \ldots, s, 都有 rr 个观测值, 残差相互独立服从 N(0,σ2),μ,αi,σ2N\left(0, \sigma^{2}\right), \mu, \alpha_{i}, \sigma^{2} 未知.

(1)(7分) 求 μ,αi\mu, \alpha_{i} 的最小二乘估计;

(2)(7分) 给出 H0:α1=α2=…=αs=0H_{0}: \alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{s}=0 的水平为 α\alpha 的否定域.