复旦大学-432统计学-2020年

一、(20分) 一家有两个孩子, 求下列事件的概率:
(1)(10分) 已知第一个是女孩, 求第二个是女孩的概率;
(2)(10分) 已知有一个是女孩, 求另一个是女孩的概率.


二、(15分) 甲有21个硬币, 乙有20个硬币, 两人同时抛出所有硬币, 求甲朝上的硬币数多于乙的概率.


三、(15分) 平面上有无数平行直线, 每两条平行直线间隔2米, 用边长1米的正三角形向平面投掷, 求三角形压到直线的概率.


四、(15分) 8个男生、7个女生坐成一排, 设Xi=1X_{i}=1表示第ii个位置与第i+1i+1个位置坐的是异性, Xi=0X_{i}=0表示第 ii个位置与第i+1i+1个位置坐的是同性, ξ=∑i=114Xi,\xi=\sum_{i=1}^{14} X_{i}, 求 Eξ.E \xi .


五、(15分) 举出一个期望趋于正无穷, 却依概率收敛到0的随机变量序列 {Xn}\left\{X_{n}\right\}.


六、(20分) 有来自总体X∼f(x)=θxθ−1I{0<x<1}X \sim f(x)=\theta x^{\theta-1} I\{0<x<1\}的nn个随机样本, 求
(1)(5分) θ\theta 的 MLE,\mathrm{MLE}, 并验证无偏性;
(2)(5分) 验证MLE的一致性;
(3)(5分) θ\theta的矩估计;
(4)(5分) 利用样本中位数对θ\theta进行估计.


七、(20分) X1,…,Xn,X_{1}, \ldots, X_{n}, i.i.d ∼N(μ,σ2),\sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), 证明[X(1),X(n)]\left[X_{(1)}, X_{(n)}\right]是μ\mu的置信水平为1−21−n1-2^{1-n}的置信区间.


八、(20分) 有来自总体X∼f(x)=12e−∣x−θ∣X \sim f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x-\theta|}的7个随机样本, 求θ\theta的MLE.


九、(10分) (X1,X2)∼N(0,0;1,1;0),(X_1, X_2) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), 求X1X2\frac{X_1}{X_2}的概率分布.