中山大学-432统计学-2020年

一、选择题(每小题3分, 共30分)

  1. 在 6 对夫妻中任选 4 人, 则至少有一对夫妻被选中的概率为 ( ).
    (A) C61C102C124\frac{C_{6}^{1} C_{10}^{2}}{C_{12}^{4}};
    (B) 24C64C124\frac{2^{4} C_{6}^{4}}{C_{12}^{4}};
    (C) C64C124\frac{C_{6}^{4}}{C_{12}^{4}};
    (D) 1−24C64C1241-\frac{2^{4}C_{6}^{4}}{C_{12}^{4}}.

  1. 设 A,B,CA, B, C 都是事件. 又 AA 和 BB 独立, BB 和 CC 独立, AA 和 CC 互不相容. P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/8P(A)=1 / 2, P(B)=1 / 4, P(C)=1 / 8. 则概率 P(A∪B∪C)P(A \cup B \cup C) 为 ( ).
    (A) 23/3323 / 33;
    (B) 23/3223 / 32;
    © 11/16;
    (D) 2/32 / 3.

  1. 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件: A1={A_{1}=\{ 第一次出现正面 },A2={\}, A_{2}=\{ 第 二次出现正面 },A3={\}, A_{3}=\{ 正、反面各出现一次 },A4={\}, A_{4}=\{ 正面出现两次 }\}, 则 ( ).
    (A) A1,A2,A3A_{1}, A_{2}, A_{3} 两两独立;
    (B) A1,A2,A3A_{1}, A_{2}, A_{3} 相互独立;
    (C) A2,A3,A4A_{2}, A_{3}, A_{4} 两两独立;
    (D) A2,A3,A4A_{2}, A_{3}, A_{4} 相互独立.

  1. 随机变量 XX 有密度 p(x)=c1−x2I(−1,1)(x)p(x)=\frac{c}{\sqrt{1-x^{2}}} I_{(-1,1)}(x), 则常数 cc 的取值为 ( ).
    (A) 2 ;
    (B) π\pi;
    (C) π/2\pi / 2
    (D) 1/π1 / \pi.

  1. 设 ZZ 在 [0,1][0,1] 上服从均匀分布, 随机变量 X,YX, Y 满足方程组 {X+Y=4Z+1X−Y=2Z−1\left\{\begin{array}{l}X+Y=4 Z+1 \\ X-Y=2 Z-1\end{array}\right. 则 XX 和 YY 各自落在 [0,1][0,1] 中的概率为 ( ).
    (A) 1/31 / 3 和 1/21 / 2;
    (B) 1/21 / 2 和 1/21 / 2;
    (C) 1/31 / 3 和 00 ;
    (D) 1/31 / 3 和 2/32 / 3.

  1. 设随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的泊松分布, 则下列条件中导出参数 λ=2\lambda=2 的 条件是 ( ).
    (A) EX=1/2E X=1 / 2;
    (B) Var⁡(X)=1/4\operatorname{Var}(X)=1 / 4;
    (C) P{X=1}=P{X=2}P\{X=1\}=P\{X=2\};
    (D) P{X=2}=2P{X=1}P\{X=2\}=2 P\{X=1\}.

  1. 当随机向量 (X,Y)(X, Y) 服从单位圆 D={(x,y):x2+y2≤1}D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} 内的均匀分布, 记 YY 的边际分布是 F(y),YF(y), Y 关于 XX 的条件分布末 G(y∣x)G(y \mid x), 则 ().
    (A) F(y)F(y) 不服从均匀分布, G(y∣x)G(y \mid x) 服从均匀分布;
    (B) F(y)F(y) 服从均匀分布, G(y∣x)G(y \mid x) 不服从均匀分布;
    (C) 二者均服从均匀分布;
    (D) 二者均不服从均匀分布.

  1. 设随机变量 X∼t(n),n>1,Y=1/X2X \sim t(n), n>1, Y=1 / X^{2}, 则 () .
    (A) Y∼χ2(n)Y \sim \chi^{2}(n);
    (B) Y∼χ2(n−1)Y \sim \chi^{2}(n-1);
    (C) Y∼F(1,n)Y \sim F(1, n);
    (D) Y∼F(n,1)Y \sim F(n, 1).

  1. 设 X1,X2,…,Xn(n>1)X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}(n>1) 为来自总体期望为 μ\mu, 总体方差为 σ2\sigma^{2} 的简单随机 样本, 记 Xˉ\bar{X} 为样本均值, 则 ( ).
    (A) D(Xi+Xˉ)=n+2nσ2D\left(X_{i}+\bar{X}\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^{2};
    (B) D(Xi−Xˉ)=n+1nσ2D\left(X_{i}-\bar{X}\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^{2};
    (C) Cov⁡(Xi,Xˉ)=1nσ2\operatorname{Cov}\left(X_{i}, \bar{X}\right)=\frac{1}{n} \sigma^{2};
    (D) Cov⁡(Xi,Xˉ)=σ2\operatorname{Cov}\left(X_{i}, \bar{X}\right)=\sigma^{2}.

  1. 设 (X,Y)∼N(μ1,μ2;σ12,σ22;0)(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; 0\right), 若 P{∣X−μ1∣<c}<P{∣Y−μ2∣<c}P\left\{\left|X-\mu_{1}\right|<c\right\}<P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right|<c\right\}, 其中 cc 为某一正数, 则 ()
    (A) σ12<σ22\sigma_{1}^{2}<\sigma_{2}^{2};
    (B) σ12>σ22\sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2};
    (C) μ1<μ2\mu_{1}<\mu_{2};
    (D) μ1>μ2\mu_{1}>\mu_{2};

  1. 设 EX=0,Var⁡(X)=1,EY=1,Var⁡(Y)=4\mathrm{EX}=0, \operatorname{Var}(X)=1, \mathrm{EY}=1, \operatorname{Var}(Y)=4, 相关系数 ρXY=1\rho_{X Y}=1, 则 ( ).
    (A) P(2X−Y+1=0)=1P(2 X-Y+1=0)=1;
    (B) P(2X−Y−1=0)=1P(2 X-Y-1=0)=1;
    (C) P(2X+Y+1=0)=1P(2 X+Y+1=0)=1;
    (D) P(2X+Y−1=0)=1P(2 X+Y-1=0)=1.

  1. 在假设检验中, 第一类错误是指 ( ).
    (A）当原假设为真时, 接受原假设;
    (B) 当原假设为真时, 拒绝原假设;
    (C) 当备择假设为真时, 接受原假设;
    (D) 当备选假设为真时, 拒绝原假设.

  1. 设 nn 个随机变量 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 独立同分布, Var⁡(X1)=σ2<+∞,Xˉ\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\sigma^{2}<+\infty, \bar{X} 与 S2S^{2} 分别为样本均值与样本方差, 则 ( ).
    (A) SS 与 Xˉ\bar{X} 相互独立;
    (B) SS 是 σ\sigma 的相合估计量;
    (C) SS 是 σ\sigma 的最大似然估计量;
    (D) SS 是 σ\sigma 的无偏估计量.

  1. 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 为来自正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的样本, 其中 μ\mu 为已知, Xˉ\bar{X} 为样本均值, 则 σ2\sigma^{2} 的最大似然估计为 ().
    (A) 1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2};
    (B) 1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2};
    (C) 1n∑i=1n(Xi−μ)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2};
    (D) 1n−1∑i=1n(Xi−μ)2\frac{1}{\mathrm{n}-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}.

  1. 设总体 X\mathrm{X} 的概率密度函数为 f(x;θ)={e−(x−θ),x≥θ;0,x<θ,,X1,X2,…,Xnf(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta ; \\ 0, & x<\theta\end{array},, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right. 为来自总体 X\mathrm{X} 的样本, 则 θ\theta 的矩估计量为 ( ).
    (A) Xˉ\bar{X};
    (B) Xˉ−1\bar{X}-1;
    (C) xˉ+1\bar{x}+1;
    (D) 1/Xˉ1 / \bar{X}.

  1. 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 为来自正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的样本, 其中 σ2\sigma^{2} 为已知, Xˉ\bar{X} 为 样本均值. 考虑如下假设检验: H0:μ≤μ0H_{0}: \mu \leq \mu_{0} v.s. H1:μ>μ0H_{1}: \mu>\mu_{0}, 标准正态分布的 95%95 \% 分位数为 1.6451.645, 在显著性水平为 0.050.05 时, 拒绝 H0H_{0} 等价于 ( ).
    (A）单侧区间 (Xˉ+1.645σn,+∞)\left(\bar{X}+1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},+\infty\right) 不包含 μ0\mu_{0};
    (B) 单侧区间 (Xˉ+1.645σn,+∞)\left(\bar{X}+1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},+\infty\right) 包含 μ0\mu_{0};
    (C) 单侧区间 (−∞,Xˉ−1.645σn)\left(-\infty, \bar{X}-1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) 不包含 μ0\mu_{0};
    (D) 单侧区间 (−∞,Xˉ−1.645σn)\left(-\infty, \bar{X}-1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) 包含 μ0\mu_{0}.

  1. 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 独立同分布, 具有期望 μ\mu, 则 ().
    (A) exp⁡(Xˉ)\exp (\bar{X}) 是 eμe^{\mu} 的相合估计量;
    (B) exp⁡(Xˉ)\exp (\bar{X}) 是 eμe^{\mu} 的最大似然估计量;
    (C) exp⁡(Xˉ)\exp (\bar{X}) 是 eμe^{\mu} 的无偏估计量;
    (D) exp⁡(Xˉ)\exp (\bar{X}) 是 eμe^{\mu} 的充分统计量.

  1. 设 X1,X2X_{1}, X_{2} 都服从参数为 1 的指数分布, YY 服从参数为 2 的指数分布, f(y)=2e−2y,0<y<∞f(y)=2 e^{-2 y}, 0<y<\infty, 且 X1,X2,YX_{1}, X_{2}, Y 相互独立, 则 ( ).
    (A) X1+X24Y∼F(4,2)\frac{X_{1}+X_{2}}{4 Y} \sim F(4,2);
    (B) X1+X2Y∼F(4,2)\frac{X_{1}+X_{2}}{Y} \sim F(4,2);
    (C) X1+X24Y∼F(2,2)\frac{X_{1}+X_{2}}{4 Y} \sim F(2,2);
    (D) X1+X2Y∼F(2,2)\frac{X_{1}+X_{2}}{Y} \sim F(2,2).

  1. 设 θ^\hat{\theta} 为参数 θ\theta 的估计量, 且 θ^\hat{\theta} 的期望与方差 σ2\sigma^{2} 均存在, 则必有 ( ).
    (A) P(∣θ^−θ∣≥2σ)≥0.5P(|\hat{\theta}-\theta| \geq 2 \sigma) \geq 0.5;
    (B) P(∣θ^−θ∣≥2σ)≤0.5P(|\hat{\theta}-\theta| \geq 2 \sigma) \leq 0.5;
    (C) P(∣θ^−θ∣≥2σ)≥E(θ^−θ)24σ2P(|\hat{\theta}-\theta| \geq 2 \sigma) \geq \frac{E(\hat{\theta}-\theta)^{2}}{4 \sigma^{2}};
    (D) P(∣θ^−θ∣≥2σ)≤E(θ^−θ)24σ2P(|\hat{\theta}-\theta| \geq 2 \sigma) \leq \frac{E(\hat{\theta}-\theta)^{2}}{4 \sigma^{2}}.

  1. 设 θ^n\hat{\theta}_{n} 为参数 θ\theta 的估计量, 且 θ^n\hat{\theta}_{n} 的期望与方差均存在, 当样本量 n→∞n \rightarrow \infty 时, E(θ^n)→θ,Var⁡(θ^n)→0E\left(\hat{\theta}_{n}\right) \rightarrow \theta, \operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{n}\right) \rightarrow 0, 则以下说法错误的是 ( ).
    (A) θ^n\hat{\theta}_{n} 是 θ\theta 的相合估计量;
    (B) θ^n\hat{\theta}_{n} 依分布收敛到 θ\theta;
    (C) P(lim⁡n→∞θ^n=θ)=1P\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \hat{\theta}_{n}=\theta\right)=1;
    (D) lim⁡n→∞E[(θ^n−θ)2]=0\lim _{n \rightarrow \infty} E\left[\left(\hat{\theta}_{n}-\theta\right)^{2}\right]=0.

二、(20 分) 已知简单随机样本 X1,…,Xn∼iidU(0,θ)X_{1}, \ldots, X_{n} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} U(0, \theta).
(1) 求 X(1)X_{(1)} 的概率密度, 并求 EX(1)E X_{(1)};
(2) 求 (X(1),X(n))\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right) 联合概率密度;
(3) 求 R=X(n)−X(1)R=X_{(\mathrm{n})}-X_{(1)} 的概率密度函数;
(4) 在 X(n)=yX_{(n)}=y 条件下, 求 X(1)X_{(1)} 的分布.


三、(15 分 )) 已知随机样本 X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} 来自于同一总体, 总体的密度函数为:

f(x∣θ)={θ,0≤x<11−θ,1≤x<2f(x \mid \theta)=\left\{\begin{array}{l} \theta, 0 \leq x<1 \\ 1-\theta, 1 \leq x<2 \end{array}\right.

记 MM 为所有样本中小于 1 的个数.
(1) 求 θ\theta 的矩估计;
(2) 求 θ\theta 的 MLE;
(3) 求 θ\theta 的 MLE 的分布.


四、(30分) 已知随机样本 X1,…,Xn∼iidB(1,p)X_{1}, \ldots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} B(1, p), 定义统计量 T=∑i=1nXiT=\sum_{i=1}^{n} X_{i}.
(1) 用充分统计量的定义证明 TT 是 pp 的充分统计量;
(2) 定义 h(X1,…,Xk)={1,X1=X2=…=Xk=1;0, 其他. h\left(X_{1}, \ldots, X_{k}\right)=\left\{\begin{array}{l}1, X_{1}=X_{2}=\ldots=X_{k}=1 ; \\ 0, \text { 其他. }\end{array}\right., 证明它是 pkp^{k} 的无偏 估计;
(3) 求 pkp^{k} 的 UMVUE.


五、(25 分) 设简单随机样本 X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} 来自于总体

f(x∣θ)={2xθexp⁡(−x2θ),x≥00,x<0f\left( x\mid \theta \right) = \left\{\begin{array}{l} \frac{2x}{\theta}\exp \left( -\frac{x^2}{\theta} \right) ,& x\ge 0\\ 0,& x<0\\ \end{array}\right.

记 T=∑i=1nXi2T=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}.
(1) 证明 TT 是 θ\theta 的充分统计量;
(2) 利用 TT 构建 θ\theta 的 95%95 \% 置信区间;
(3) 假设检验问题 H0:θ=1H_{0}: \theta=1 vs H1:θ>1H_{1}: \theta>1 是否存在 UMP 拒绝域? 如果存在, 写出拒绝域; 如果不存在, 请说明理由.