北大叉院-849统计学-2020年

一、(15分) 有5根线段, 长度分别为1,3,5,7,9厘米, 先从中随机抽取3根, 求能够组成三角形的概率.

二、(15分) 甲、乙两人独立射击一目标, 命中目标的概率是0.6, 0.8. 现已知目标被击中, 求乙击中的概率.

三、(15分) 已知随机变量$N\sim \mathcal P(\lambda)$, $X_0=0$, 而$X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.服从$B(1,p)$的随机变量, 试证:

$$\sum_{i=0}^{N} X_i \sim \mathcal P(\lambda p).$$

四、(15分) 已知甲袋中有1个黑球和$k$个白球, 乙袋中有$k+1$个白球, 每次从两袋中各取一球进行交换, 记交换$n$次后黑球在甲袋的概率为$p_n$, 试证:

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} p_n =\frac{1}{2}.$$

五、(15分) 随机向量$(X,Y)$的密度函数是

$$f\left( x,y \right) =\begin{cases} ke^{-3x-4y},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他},\\ \end{cases}$$

(1)(5分) 求$k$;

(2)(5分) 求$\mathrm{P}(0<X<1,0<Y<2)$;

(3)(5分) 求$(X,Y)$的分布函数.

六、(15分) 已知$X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.$\sim f(x)=2\lambda xe^-{\lambda x^2}I_{[x>0]}$的随机样本, 其中$\lambda>0$是未知参数.

(1)(5分) 求$\lambda$的MLE;

(2)(5分) 验证无偏性;

(3)(5分) 验证相合性.

七、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是来自密度函数$f(x)=\frac{2\theta^2}{x^3}I_{[x\ge \theta ]}$的随机样本, 求$\theta$的矩估计与最大似然估计.

八、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.的随机变量序列, 且$\mathrm{E}X_1=\mu$, $\mathrm{Var}(X_1)=\sigma^2$存在, 证明:

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\xrightarrow{d}N\left( 0,1 \right) .$$

九、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是来自总体$U(0,\theta)$的随机样本, 试求

(1)(7分) $\theta$的最大似然估计;

(2)(8分) $\theta$的$1-\alpha$置信区间.

十、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的随机样本, 试给出一个$\sigma$的无偏估计.