复旦大学861-861概率论与数理统计-2020年

一 (20 分) 随机变量 X,YX, Y 相互独立, 均服从参数为 pp 的几何分布, 记 Z=Z= max⁡{X,Y}\max \{X, Y\}, 试求

(1) 随机向量 (Z,X)(Z, X) 的联合分布;

(2) XX 关于 ZZ 的条件分布.


二 (25 分) 随机变量 X,YX, Y 相互独立, 均服从标准正态分布, 试求

(1) E∣X−Y∣E|X-Y| 以及 D∣X−Y∣D|X-Y|;

(2) E(max⁡{X,Y})E(\max \{X, Y\}) 与 E(min⁡{X,Y})E(\min \{X, Y\}).


三、 (25 分) {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是独立同分布, 均服从参数为 1 的泊松分布, 记 Sn=∑i=1nXiS_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}, 解决如下问题

(1) 试求 SnS_{n} 的分布.

(2) 试证明 1n(∑i=1nXi−n)\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n\right) 渐进服从标准正态分布.


四、(30 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自泊松分布 Poisson⁡(θ)\operatorname{Poisson}(\theta) 的简单随机样本, 记 η=\eta= P(X1≤1)P\left(X_{1} \leq 1\right) 以及 η^n=1n∑i=1nI{Xi≤1}.\hat{\eta}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{I}_{\left\{X_{i} \leq 1\right\}} .

(1) 求 θ,η\theta, \eta 的极大似然估计 θ^L,η^L\hat{\theta}_{L}, \hat{\eta}_{L}, 并判断它们是否是 UMVUE, 说明理由;

(2) θ^L,η^L\hat{\theta}_{L}, \hat{\eta}_{L} 是否具有相合性, 说明理由;

(3) η^n\hat{\eta}_n 是否为 UMVUE? 定义 σ2=nVar(η^n)\sigma^2 = nVar(\hat{\eta}_n), 求 σ\sigma 的矩估计.

五、 (30 分) X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自参数为 λ\lambda 的指数分布总体的随机样本, 总体的 密度函数为

f(x)={λe−λx,x>00,x≤0f(x)= \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}

(1) 求 G=2λ∑i=1nXiG=2 \lambda \sum_{i=1}^{n} X_{i} 的分布;

(2) 基于枢轴量 GG 给出参数 λ\lambda 的 1−α1-\alpha 置信水平的置信区间;

(3) 写出上述置信区间的对偶检验问题的拒绝域与检验统计量, 这一拒绝域具 有哪些优良性?

(4) 用统计量 T=c∑i=1nXiT=c \sum_{i=1}^{n} X_{i} 对总体均值进行估计, 其中 cc 使其均方误差达到 最小, 试求出 cc.


六、(20 分) 设有收集到的数据集 {(xi1,xi2,⋯ ,xip,yi)}i=1,2,⋯ ,n\left\{\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \cdots, x_{i p}, y_{i}\right)\right\}_{i=1,2, \cdots, n}, 满足线性回归模 型

Y=Xβ+εY=X \beta+\varepsilon

其中 Y=(y1,y2,⋯ ,yn)T,X=[x1T,x2T,⋯ ,xnT]T,xi=(xi1,xi2,⋯ ,xip)T\boldsymbol{Y}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}, X=\left[x_{1}^{T}, \boldsymbol{x}_{2}^{T}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}^{T}\right]^{T}, \boldsymbol{x}_{i}=\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \cdots, x_{i p}\right)^{T}, β=(β1,β2,⋯ ,βp)T,ε=(ε1,ε2,⋯ ,εn)T\boldsymbol{\beta}=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{p}\right)^{T}, \varepsilon=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)^{T}, 且有 εi\varepsilon_{i} i.i.d ∼N(0,σ2)\sim N\left(0, \sigma^{2}\right). 记 β^\hat{\boldsymbol{\beta}} 是 β\boldsymbol{\beta} 的最小二乘估计, 假设矩阵 XX 是满秩的, 试证明

(1) Cov⁡(β^)=σ2(XTX)−1\operatorname{Cov}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\sigma^{2}\left(X^{T} X\right)^{-1};

(2) β^\hat{\beta} 是 β\boldsymbol{\beta} 的最佳线性无偏估计.