北京大学-431金融学综合-2020年-解析

北京大学-431金融学综合-2020年

2020统计部分解析

一、(15分) 研究团队调查了大、中、小型公司的各200名高管, 询问他们是否已经开展了大数据项目, 他们的回答结果如下:

是否已开展大数据项目	小型公司	中型公司	大型公司
是	$10\%$	$35\%$	$26\%$
否	$90\%$	$65\%$	$74\%$

请在$5\%$的显著性水平下, 判断不同类型公司是否在开展大数据项目上存在显著差异.

Solution: 这是 $m=3, n=2$ 的列联表检验, 其原假设是: 开展大数据项目的比例与公司类型独立, 即开展大数据在不同公司内无差异.

首先将表格改写为具体数值:

是否已开展大数据项目	$i=1$	$i=2$	$i=3$	总
$j=1$	$20$	$70$	$52$	$142$
$j=2$	$180$	$130$	$148$	$458$
总	$200$	$200$	$200$	$600$

利用方差分析公式即

$$\chi ^2=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{\frac{\left( N_{ij}-N\cdot p_{i\cdot}\cdot p_{\cdot j} \right) ^2}{N\cdot p_{i\cdot}\cdot p_{\cdot j}}}}=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{\frac{\left( N_{ij}-N\cdot \frac{N_{i\cdot}}{N}\cdot \frac{N_{\cdot j}}{N} \right) ^2}{N\cdot \frac{N_{i\cdot}}{N}\cdot \frac{N_{\cdot j}}{N}}}}=35.5,$$

在原假设成真时, 有$\chi^2 \sim \chi^2((m-1)(n-1))=\chi^2(2)$, 拒绝域是

$$W=\{\chi^2>\chi^2_{0.95}(2)\},$$

回忆起 $Y\sim \chi^2(2)=Exp(1)$, 令 $P\left( Y>c \right) =e^{-c}=0.05$, 解得

$$\chi _{0.95}^{2}\left( 2 \right) =c=-\ln \left( 0.05 \right) =2.99573,$$

显然此时 $35.5>2.99573$, 落入拒绝域, 故认为不同类型公司有明显差异.

二、(15 分) 假设 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 是独立同分布的随机变量, 它们的分布密度函数 为: $f(x ; \beta, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x-\beta|}{\sigma}}, x\in R$.
(1) (5 分) 请写出 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 的联合密度函数.
(2) (5 分) 如果$\beta$已知, 求 $\sigma$ 的极大似然估计.
(3) (5 分) 如果$\sigma$已知, 求 $\beta$ 的极大似然估计.

Solution: (1) 联合密度就是密度函数的累乘, 即

$$f\left( x;\beta ,\sigma \right) =2^{-n}\sigma ^{-n}\exp \left\{ -\frac{\sum_{i=1}^n{\left| x_i-\beta \right|}}{2\sigma} \right\} ,\quad x\in R^n.$$

(2) 如果$\beta$已知, 对数似然函数是

$$\ell \left( \sigma \right) =C-n\ln \left( \sigma \right) -\frac{\sum_{i=1}^n{\left| x_i-\beta \right|}}{2\sigma},\quad \frac{\partial \ell}{\partial \sigma}=-\frac{n}{\sigma}+\frac{\sum_{i=1}^n{\left| x_i-\beta \right|}}{2\sigma ^2},$$

令导数为 $0$, 解得 $\hat{\sigma}=\frac{\sum_{i=1}^n{\left| x_i-\beta \right|}}{2n}$.

(3) 如果$\sigma$已知, 对数似然函数是

$$\ell \left( \beta \right) =C-\frac{1}{2\sigma}\sum_{i=1}^n{\left| x_i-\beta \right|},$$

求导并不方便. 由于最大化 $\ell$ 等同于最小化 $Q(\beta)=\sum_{i=1}^n{\left| x_i-\beta \right|}$, 我们用次序统计量改写为

$$Q(\beta )=\sum_{i=1}^n{\left| x_{\left( i \right)}-\beta \right|},$$

并且有

$$Q(\beta )=\begin{cases} \sum_{j=1}^{n/2}{\left( \left| x_{(j)}-\beta \right|+\left| x_{(n+1-j)}- \right|\beta \mid \right)},& n\,\,\text{是偶数}\\ \sum_{j=1}^{(n-1)/2}{\left( \left| x_{(j)}-\beta \right|+\left| x_{(n+1-j)}-\beta \right| \right)}+\left| x_{\left( \frac{n+1}{2} \right)}-\beta \right|,& n\,\,\text{是奇数}\\ \end{cases}$$

对 $\forall j$, 当 $\beta \in\left[x_{(j)}, x_{(n-j+1)}\right]$ 时, $\left(\left|x_{(j)}-\beta\right|+\left|x_{(n+1-j)}-\beta\right|\right)$ 取到最小值.

而当 $n$ 是奇数时, 当 $\beta=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$ 时, $\left|x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}-\beta\right|$ 达到最小.

若 $n$ 为偶数, 则当 $\beta \in \bigcap_{j=1}^{n / 2}\left[x_{(j)}, x_{(n-j+1)}\right]=\left[x_{\left(\frac{n}{2}\right)}, x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right]$ 时, 所有的 $\left(\left|x_{(j)}-\beta\right|+\left|x_{(n+1-j)}-\beta\right|\right)$ 均取最小值, 则此时 $Q(\beta)$ 取最小值.

综上所述, 当 $n$为奇数数, $\hat{\beta} = x_{([\frac{n+1}{2}])}$, 当 $n$ 为偶数, $\hat{\beta}$ 可取$\left[x_{\left(\frac{n}{2}\right)}, x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right]$ 任意值. 或者简单地说, $\hat{\beta}$ 可以取成样本中位数.

三、(15 分) 假设$y_1,y_2,\cdots,y_n$独立同服从下述异方差线性回归模型:

$$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i =1,2,\cdots,n,$$

其中 $\varepsilon_i \sim N(0,i^2)$, $x_1,\cdots,x_n$是已知数.
(1) (5分) 求对数似然函数.
(2) (5分) 请写出 $(\beta_0,\beta_1)$ 的极大似然估计 $(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$ 的数学公式.
(3) (5分) 给出$(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$的统计学分布.

Solution: (1) 似然函数是

$$L\left( \beta \right) =\prod_{i=1}^n{\left( 2\pi i^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \exp \left\{ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\frac{\left( y_i-\beta _0-\beta _1x_i \right) ^2}{i^2}} \right\}},$$

对数似然函数是

$$\ell \left( \beta \right) =C-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\frac{\left( y_i-\beta _0-\beta _1x_i \right) ^2}{i^2}}=C-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\left( \frac{y_i}{i}-\beta _0\frac{1}{i}-\beta _1\frac{x_i}{i} \right) ^2}.$$

(2) 最大化似然函数等价于最小化 $Q(\beta)=\sum_{i=1}^n{\left( \frac{y_i}{i}-\beta _0\frac{1}{i}-\beta _1\frac{x_i}{i} \right) ^2}$, 而若我们记

$$z_i=\frac{y_i}{i},\quad u_{0,i}=\frac{1}{i},\quad u_{1,i}=\frac{x_i}{i},$$

则有

$$Q(\beta )=\sum_{i=1}^n{\left( z_i-\beta _0u_{0,i}-\beta _1u_{1,i} \right) ^2},$$

这就是不带截距项的二元线性回归, 其解为

$$\hat{\beta} = \left( U^TU \right) ^{-1}U^TZ=\left( \begin{matrix} l_{00}& l_{01}\\ l_{10}& l_{11}\\ \end{matrix} \right) ^{-1}\left( \begin{array}{c} l_{0z}\\ l_{1z}\\ \end{array} \right),$$

即 $\hat{\beta}$ 是线性方程组

$$\left( \begin{matrix} l_{00}& l_{01}\\ l_{10}& l_{11}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} \beta _0\\ \beta _1\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} l_{0z}\\ l_{1z}\\ \end{array} \right)$$

的解, 其中

$$l_{00}=\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{2}},\quad l_{01}=l_{10}=\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{}u_{1i}},\quad l_{11}=\sum_{i=1}^n{u_{1i}^{2}},\quad l_{0z}=\sum_{i=1}^n{u_{0i}z_i},\quad l_{1z}=\sum_{i=1}^n{u_{1i}z_i},$$

故代入后有

$$\begin{aligned} &\hat{\beta}_0=\frac{\left| \begin{matrix} l_{0z}& l_{01}\\ l_{1z}& l_{11}\\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} l_{00}& l_{01}\\ l_{10}& l_{11}\\ \end{matrix} \right|}=\frac{\sum_{i=1}^n{u_{1i}^{2}}\sum_{i=1}^n{u_{0i}z_i}-\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{}u_{1i}}\sum_{i=1}^n{u_{1i}z_i}}{\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{2}}\sum_{i=1}^n{u_{1i}^{2}}-\left( \sum_{i=1}^n{u_{0i}^{}u_{1i}} \right) ^2}=\frac{\sum_{i=1}^n{\frac{x_{i}^{2}}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{y_i}{i^2}}-\sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{x_iy_i}{i^2}}}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{x_{i}^{2}}{i^2}}-\left( \sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}} \right) ^2},\\ &\hat{\beta}_1=\frac{\left| \begin{matrix} l_{00}& l_{0z}\\ l_{10}& l_{1z}\\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} l_{00}& l_{01}\\ l_{10}& l_{11}\\ \end{matrix} \right|}=\frac{\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{2}}\sum_{i=1}^n{u_{1i}z_i}-\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{}u_{1i}}\sum_{i=1}^n{u_{0i}z_i}}{\sum_{i=1}^n{u_{0i}^{2}}\sum_{i=1}^n{u_{1i}^{2}}-\left( \sum_{i=1}^n{u_{0i}^{}u_{1i}} \right) ^2}=\frac{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{x_iy_i}{i^2}}-\sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{y_i}{i^2}}}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{x_{i}^{2}}{i^2}}-\left( \sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}} \right) ^2}.\\ \end{aligned}$$

(3) 对于 $z_i = \beta_0 u_{0i} + \beta_1 u_{1i} + e_i$, 其中 $e_i\sim N(0,1)$, 这已经符合了同方差假设, 此时最小二乘估计的分布是

$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} \hat{\beta}_0\\ \hat{\beta}_1\\ \end{array} \right) &\sim N\left( \left( \begin{array}{c} \beta _0\\ \beta _1\\ \end{array} \right) ,\left( U^TU \right) ^{-1} \right)\\ &=N\left( \left( \begin{array}{c} \beta _0\\ \beta _1\\ \end{array} \right) ,\frac{\left( \begin{matrix} l_{11}& -l_{10}\\ -l_{01}& l_{00}\\ \end{matrix} \right)}{\left| \begin{matrix} l_{00}& l_{01}\\ l_{10}& l_{11}\\ \end{matrix} \right|} \right)\\ &=N\left( \left( \begin{array}{c} \beta _0\\ \beta _1\\ \end{array} \right) ,\frac{\left( \begin{matrix} \sum_{i=1}^n{\frac{x_{i}^{2}}{i^2}}& -\sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}}\\ -\sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}}& \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i^2}}\\ \end{matrix} \right)}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i^2}}\sum_{i=1}^n{\frac{x_{i}^{2}}{i^2}}-\left( \sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{i^2}} \right) ^2} \right) .\\ \end{aligned}$$

四、(15分) 有一位市场调查员, 他感兴趣的是该地区成年人中购买某商品的比率 $\theta$. 现在他准备调查 $n$ 个顾客($n$较大), 如果购买了该商品则纪录为 $x_i=1$, 否则 $x_i=0$.
(1)(5分) 求 $\bar{x}$的近似分布.
(2)(5分) 现他要事先确定需要 访问多少顾客才能使 $[\bar{x}-d, \bar{x}+d]$ 是 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间? 其中 $d$ 是事先给定的常数.
(3)(5分) 又假如事先知道去年该比率是 $20\%$, 调查员试图研究今年是否有显著不同, 请写出假设检验问题并给出假设检验过程.

Solution: (1) 显然 $x_1,\cdots,x_n$ 独立同服从 $B(1,\theta)$, 期望为 $\theta$, 方差为 $\theta(1-\theta)$, 根据中心极限定理, 有

$$\bar{x} \sim AN\left(\theta, \frac{\theta(1-\theta)}{n}\right).$$

(2) 利用正态近似有

$$P\left(\left|\sqrt{n} \frac{\bar{x}-\theta}{\sqrt{\theta(1-\theta)}}\right|<z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha,$$

反过来解得

$$\theta \in\left[\bar{x}-\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n}} \sqrt{\theta(1-\theta)}, \bar{x}+\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n}} \sqrt{\theta(1-\theta)}\right],$$

因此 $d$ 一定要比 $\frac{z_1-\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{n}} \sqrt{\theta(1-\theta)}$ 还大才行，所以也要比右侧的最大值大，考虑到二次函数

$$x(1-x) \leq \frac{1}{4}, \quad \text { 当 } x=1 / 2 \text { 时取等, }$$

因此有$d \geq \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{2 \sqrt{n}}$, 解得 $n\ge \left( \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{2d} \right) ^2$.

(3) 该问题的原假设和备择假设是

$$H_0:\theta = 0.2\quad \mathrm{vs} \quad H_1:\theta \neq 0.2$$

因此有原假设成立时: $z=\frac{\bar{x}-0.2}{\sqrt{\frac{0.2\cdot 0.8}{n}}}\sim AN\left( 0,1 \right)$. 如果 $|z|$特别大, 则说明 $\bar{x}$ 距 $0.2$ 相去甚远, 我们拒绝原假设, 故拒绝域是

$$W=\left\{ \frac{\left| \bar{x}-0.2 \right|}{\sqrt{\frac{0.2\cdot 0.8}{n}}}>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right\} =\left\{ \bar{x}>0.2+0.4\sqrt{n}z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right\} \cup \left\{ \bar{x}<0.2-0.4\sqrt{n}z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right\} .$$

[注]: 写成 $z=\frac{\bar{x}-0.2}{\sqrt{\frac{\bar{x}\cdot (1-\bar{x})}{n}}}\sim AN\left( 0,1 \right)$ 作为检验统计量也行, 但和第(2)问有了差异, 不是很顺畅.

五、(15分) 假设 $X_1$ 和 $X_2$ 都是独立同分布的泊松随机变量, 均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 。
(1) (5 分) 写出 $X_1$ 的概率分布列.
(2) (5 分) 写出 $X_1+X_2$ 的概率分布列
(3) (5 分）请问 $2 X_1$ 还服从泊松分布吗?

Solution: (1) 显然有

$$p_1\left( x \right) =P\left( X_1=x \right) =\frac{\mu _{1}^{x}}{x!}e^{-\mu _1},\quad x=0,1,2,\cdots .$$

(2) 根据泊松分布可加性, $Y=X_1+X_2$ 仍然是泊松分布, 期望为 $\mu_1+\mu_2$, 因此有

$$p_Y\left( y \right) =P\left( Y=y \right) =\frac{\left( \mu _1+\mu _2 \right) ^y}{y!}e^{-\left( \mu _1+\mu _2 \right)},\quad y=0,1,2,\cdots .$$

(3) 不是, 因为 $2X_1$的可能取值是 $\{0,2,4,6,8,\cdots\}$, 泊松分布的定义域是 $\{0,1,2,3,\cdots\}$, 故 $2X_1$不是泊松分布.

2020微观部分解析

一、 （15 分）B 城市的市民有两种出行方式：公共交通和私家车。为鼓励绿色出行，B 城市补贴市民的公共交通花销，其中贴补力度为原价格的 50%。即本需要花费 $p_1$ 元/公里的线路在补贴后只需要花费 0.5 $p_1$ 元/公里即可。假设 B 城市的市民平均每月出行的公共交通通勤里程为 $x_1$ 公里，私家车里程为 $x_2$ 公里。私家车出行的成本为 $p_2$ 元/公里。市民从出行中获得的效用为 $u(x_1, x_2) = x_1^{0.2} x_2^{0.8}$。

现在专家提出，为缓解高峰时段公共交通运力不足，建议取消公共交通价格补贴，使得价格恢复为 $p_1$ 元/公里。但这样会使居民的出行效率降低，所以建议每个月给每一位市民一笔固定的收入补贴 $s$ 元。政府的目标是花最少的钱使市民的效用在补贴前后无差异。

1. （5 分）为了使得市民的效用水平在补贴方式改变前后没有差异，$s$ 最少应为多少？

2. （5 分）改为固定收入补贴之后市民选择的出行方式 $x_1$ 和 $x_2$ 为多少？

3. （5 分）哪一种补贴方式对政府的财政负担较小，价格补贴还是固定收入补贴？差异为多少元？

Solution：

(1) 消费者的效用与固定补贴计算

记 $m$ 表示消费者收入，那么：

$$\text{max } u(x_1, x_2) = x_1^{0.2}x_2^{0.8}\\ \text{s.t. } 0.5p_1x_1 + p_2x_2 = m$$

解得：

$$x_1 = \frac{2m}{5p_1}, \quad x_2 = \frac{4m}{5p_2}$$

效用为：

$$u_0 = \left( \frac{2m}{5p_1} \right)^{0.2} \left( \frac{4m}{5p_2} \right)^{0.8} = \frac{2^{0.2}4^{0.8}m}{5^{0.2+0.8}p_1^{0.2}p_2^{0.8}} = \frac{2^{0.2}4^{0.8}m}{5p_1^{0.2}p_2^{0.8}}$$

改为固定补贴后：

$$\text{max } u(x_1, x_2) = x_1^{0.2}x_2^{0.8}\\ \text{s.t. } p_1x_1 + p_2x_2 = m + s$$

解得：

$$x_1 = 0.2 \cdot \frac{m+s}{p_1}, \quad x_2 = 0.8 \cdot \frac{m+s}{p_2}$$

效用为：

$$u_1 = \left( \frac{m+s}{p_1} \cdot 0.2 \right)^{0.2} \left( \frac{m+s}{p_2} \cdot 0.8 \right)^{0.8} = \frac{4^{0.8}(m+s)}{5p_1^{0.2}p_2^{0.8}}$$

令 $u_0 = u_1$，得：

$$\frac{2^{0.2}4^{0.8}m}{5p_1^{0.2}p_2^{0.8}} = \frac{4^{0.8}(m+s)}{5p_1^{0.2}p_2^{0.8}}$$

简化后得：

$$s = (2^{0.2}-1)m$$

因此，补贴金额 $s$ 应为 $s = (2^{0.2}-1)m$。

(2) 补贴后的消费量计算

由上述计算，代入 $s = (2^{0.2}-1)m$ 得：

$$x_1 = 0.2 \cdot \frac{m+s}{p_1} = \frac{2^{0.2}}{5} \cdot \frac{m}{p_1}$$

$$x_2 = 0.8 \cdot \frac{m+s}{p_2} = \frac{4\cdot 2^{0.2}}{5} \cdot \frac{m}{p_2}$$

(3) 两种补贴方式的财政负担比较

通过计算：

• 价格补贴的补贴金额为 $0.2m$；
• 固定收入补贴的补贴金额为 $s = (2^{0.2}-1)m$。

利用不等式 $(1+1)^{0.2}<1+1\cdot 0.2$，显然：

• 固定收入补贴更优，对政府的财政负担更小。
• 两种补贴方式的差异约为 $(1.2-2^{0.2})m$。
  

二、（20 分）一个小商贩在小车上售卖两种商品，冰淇淋和汽水。他认为未来一周高温和气温正常的概率相等。此小商贩对收入的效用为 $u(w) = w^{0.5}$。如果他全部售卖冰淇淋，则如果未来一周发生高温，收入为 2500 元；如果气温正常，收入为 400 元。如果他全部售卖汽水，则如果未来一周发生高温，收入为 1600 元；如果气温正常，收入为 900 元。

1. （10 分）该小贩应怎样组合冰淇淋和汽水的售卖比例 $\alpha$ 和 $1-\alpha$，使期望效用最大？

2. （10 分）有一个保险给只卖冰淇淋的商贩设立。保险的保险费为每周 400 元。如果气温不高（即气温正常），则保险赔付 800 元。这个小商贩是否应该购买此保险并只售卖冰淇淋，还是应该不买保险，保持（1）中的两种商品的售卖比例？

Solution：

(1) 小商贩的期望效用最大化问题

设小商贩的期望效用最大化问题为：

$$\max_{\alpha} EU = 0.5 \sqrt{2500 \alpha + 1600 (1 - \alpha)} + 0.5 \sqrt{400 \alpha + 900 (1 - \alpha)}$$

将期望效用函数展开为：

$$EU = 0.5 \sqrt{1600 + 900 \alpha} + 0.5 \sqrt{900 - 500 \alpha}$$

对 $\alpha$ 求导：

$$\frac{dEU}{d\alpha} = 0.5 \cdot \frac{900}{2 \sqrt{1600 + 900 \alpha}} - 0.5 \cdot \frac{500}{2 \sqrt{900 - 500 \alpha}} = 0$$

解方程，得到 $\alpha$：

$$\alpha = \frac{329}{630} \approx 0.5$$

因此，小商贩应当选择 $\alpha^* = \frac{329}{630}$ 的销售比例，期望效用为：

$$EU_0 = 0.5 \sqrt{1600 + 900 \alpha^*} + 0.5 \sqrt{900 - 500 \alpha^*}.$$

近似采用 $\alpha^* = 0.5$，即冰淇淋和汽水的销售比例相等，此时：

$$EU_0 = 0.5 \sqrt{2050} + 0.5 \sqrt{650}.$$

(2) 考虑保险的期望效用

保险费用为 400 元，若购买保险，在气温不高时（即气温正常）会补偿 800 元。
购买保险时的期望效用为：

$$EU_1 = 0.5 \sqrt{2100} + 0.5 \sqrt{800}$$

对比购买保险与不购买保险的期望效用：

• 对于第一个根号部分，有 $1600 + 900 \cdot \alpha^* = 2070 < 2100$。
• 对于第二个根号部分，有 $900 - 500 \alpha^* < 900 - 500 \cdot 0.5 = 650 < 800$。

因此：

$$EU_1 > EU_0$$

结论：
小商贩应当选择购买保险，因为购买保险后的期望效用高于不购买保险时的期望效用。

三、（25 分）某市有两家企业 A 和 B 生产同样的产品，其生产函数分别为 $y_a = 2(L_a)^{0.5}$ 和 $y_b = (L_b)^{0.5}$，其中 $L_a$ 为 A 企业的雇佣的工人数量，B 企业的变量含义以此类推。给定外生的产品价格 $p = 30$ 和外生的工资成本 $w = 5$，两家企业分别最大化其利润。企业的生产过程中产生污染，A 和 B 企业的排污量分别为 $v_a = (y_a)^2$ 和 $v_b = (y_b)^2$。A 市居民的效用函数为 $8(L_a + L_b)^{0.5} - (v_a + v_b)$。

1. （7 分）求使该市居民效用最大化的排污水平 $v_a$ 和 $v_b$。

2. （6 分）如果企业 A 和 B 无视污染给居民带来的负效用，它们的总排污量是多少？

3. （6 分）如果政府直接规定 A 和 B 两个企业的总排污量，使其等于（1）中的总排污水平，如何分配排污量才能最大化就业？

4. （6 分） 如果政府收取排污费，费用为每单位污染收取 $t$，请问能否通过设定 $t$ 复刻（3）问中的排污量分配？如果能，请给出 $t$ 的表达式。

Solution：

(1) 居民效用最大化的目标是：

$$\max U = 8(L_a + L_b)^{0.5} - (v_a + v_b)$$

约束条件为：

$$v_a = (y_a)^2, \quad v_b = (y_b)^2$$

$$y_a = 2(L_a)^{0.5}, \quad y_b = (L_b)^{0.5}$$

求解得到：

$$v_a = 0, \quad v_b = 16$$

(2)企业 A 和 B 追求自身利润最大化：

对于企业 A：

$$\max \pi_a= p y_a - w L_a = 60 \sqrt{L_a} - 5 L_a$$

一阶条件（F.O.C.）为：

$$\frac{30}{\sqrt{L_a}} - 5 = 0$$

解得：

$$L_a= 36, \quad v_a = 144$$

对于企业 B：

$$\max \pi_b = p y_b - w L_b = 30 \sqrt{L_b} - 5 L_b$$

一阶条件为：

$$\frac{15}{\sqrt{L_b}} - 5 = 0$$

解得：

$$L_b = 9, \quad v_b = 9$$

(3)排污量分配的目标是最大化就业总量，即：

$$\max L_a + L_b \quad \text{s.t.} \quad v_a + v_b = 16$$

解得：

$$v_a = 0, \quad v_b = 16$$

与第 1 问结果一致。

(4)对于企业 A：

$$\max \pi_a = p y_a- w L_a - t v_a = 60 \sqrt{L_a} - 5 L_a- t v_a$$

当 $v_a = 0$，$v_b = 16$ 时（隐含了$L_a=0$），发现没有一个$t$可以满足条件。
或分析企业B：

$$\max \pi_b = p y_b - w L_b -tv_b= 30 \sqrt{v_b} - 5 v_b-tv_b$$

一阶条件（F.O.C.）为：

$$\frac{15}{\sqrt{v_b}} - 5-t = 0$$

解得：

$$t=-1.25$$

因此，不存在 $t$ 能复刻第 3 问的结果。

四、（15 分）考虑以下完全信息动态博弈。博弈的参与者为一个垄断性的上游企业 U 与一个垄断性的下游企业 D。在博弈的第一阶段，企业 U 以单位价格 $p_u$ 向企业 D 销售中间产品。在第二阶段，企业 D 把中间产品（一比一地）加工为最终产品，并以单位价格 $p_d$ 向消费者出售。假设企业 U 的生产成本为零，而企业 D 除购买中间产品的费用外亦无其他生产成本。最后，假设企业 D 面对的需求函数为 $q(p_d) = 1 - p_d$。

1. （3 分） 考虑博弈的第二阶段。给定上游企业的中间产品供给价格 $p_u$，请求出下游企业关于最终产品的利润最大化定价。

2. （5 分）回到博弈的第一阶段。给定下游企业的利润最大化定价策略，请求出上游企业的利润最大化定价（即子博弈精炼纳什均衡定价）。

3. （2 分）在均衡时，产生利润（即两企业利润的加总）是多少？有多少最终产品会销售给消费者？

4. （5 分）假设现在题中的上下游企业 U 和 D 合并为一个企业。请求出在此情形下，有多少最终产品会销售给消费者？与（3）中的情形对比，产生利润与消费者福利有何变化？

Solution：

(1) 给定 $p_u$，下游企业的利润最大化目标是：

$$\pi_d = (1 - p_d)(p_d - p_u)$$

对 $p_d$ 求导并令导数为 0，得到下游企业的最优定价为：

$$p_d = \frac{1 + p_u}{2}$$

(2) 给定 $p_d = \frac{1 + p_u}{2}$，上游企业的利润最大化目标是：

$$\pi_u = p_u (1 - p_d)$$

对 $p_u$ 求导并令导数为 0，得到上游企业的最优定价为：

$$p_u = 0.5$$

(3) 利用上述结果代入各自利润表达式，得到：

$$\pi_u = \frac{p_u (1 - p_u)}{2} = 0.125$$

$$\pi_d = (1 - p_d)(p_d - p_u) = 0.0625$$

加总利润为：

$$\pi_u + \pi_d = 0.125 + 0.0625 = 0.1875$$

产品销量为：

$$q = 1 - p_d = 0.25$$

(4) 合并一个企业时，追求利润之和最大化，即：

$$\max \ \pi_u + \pi_d = (1 - p)p$$

对 $p$ 求导并令导数为 0，得到最优定价为：

$$p = 0.5$$

因此，总利润为：

$$\pi_u + \pi_d = 0.25$$

产品价格降低，福利增加。