北京大学-431金融学综合-2020年

2020统计部分真题

一、(15分) 研究团队调查了大、中、小型公司的各200名高管, 询问他们是否已经开展了大数据项目, 他们的回答结果如下:

是否已开展大数据项目 小型公司 中型公司 大型公司
是 10%10\% 35%35\% 26%26\%
否 90%90\% 65%65\% 74%74\%

请在5%5\%的显著性水平下, 判断不同类型公司是否在开展大数据项目上存在显著差异.

二、(15 分) 假设 X1,X2,⋯XnX_1, X_2, \cdots X_n 是独立同分布的随机变量, 它们的分布密度函数 为: f(x;β,σ)=12σe−∣x−β∣σ,x∈Rf(x ; \beta, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x-\beta|}{\sigma}}, x\in R.
(1) (5 分) 请写出 X1,X2,⋯XnX_1, X_2, \cdots X_n 的联合密度函数.
(2) (5 分) 如果β\beta已知, 求 σ\sigma 的极大似然估计.
(3) (5 分) 如果σ\sigma已知, 求 β\beta 的极大似然估计.

三、(15 分) 假设y1,y2,⋯ ,yny_1,y_2,\cdots,y_n独立同服从下述异方差线性回归模型:

yi=β0+β1xi+εi,i=1,2,⋯ ,n,y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i =1,2,\cdots,n,

其中 εi∼N(0,i2)\varepsilon_i \sim N(0,i^2), x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_n是已知数.
(1) (5分) 求对数似然函数.
(2) (5分) 请写出 (β0,β1)(\beta_0,\beta_1) 的极大似然估计 (β^0,β^1)(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1) 的数学公式.
(3) (5分) 给出(β^0,β^1)(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)的统计学分布.

四、(15分) 有一位市场调查员, 他感兴趣的是该地区成年人中购买某商品的比率 θ\theta. 现在他准备调查 nn 个顾客(nn较大), 如果购买了该商品则纪录为 xi=1x_i=1, 否则 xi=0x_i=0.
(1)(5分) 求 xˉ\bar{x}的近似分布.
(2)(5分) 现他要事先确定需要 访问多少顾客才能使 [xˉ−d,xˉ+d][\bar{x}-d, \bar{x}+d] 是 θ\theta 的 1−α1-\alpha 置信区间? 其中 dd 是事先给定的常数.
(3)(5分) 又假如事先知道去年该比率是 20%20\%, 调查员试图研究今年是否有显著不同, 请写出假设检验问题并给出假设检验过程.

五、(15分) 假设 X1X_1 和 X2X_2 都是独立同分布的泊松随机变量, 均值分别为 μ1\mu_1 和 μ2\mu_2 。
(1) (5 分) 写出 X1X_1 的概率分布列.
(2) (5 分) 写出 X1+X2X_1+X_2 的概率分布列
(3) (5 分）请问 2X12 X_1 还服从泊松分布吗?

2020微观部分真题

一、 （15 分）B 城市的市民有两种出行方式：公共交通和私家车。为鼓励绿色出行，B 城市补贴市民的公共交通花销，其中贴补力度为原价格的 50%。即本需要花费 p1p_1 元/公里的线路在补贴后只需要花费 0.5 p1p_1 元/公里即可。假设 B 城市的市民平均每月出行的公共交通通勤里程为 x1x_1 公里，私家车里程为 x2x_2 公里。私家车出行的成本为 p2p_2 元/公里。市民从出行中获得的效用为 u(x1,x2)=x10.2x20.8u(x_1, x_2) = x_1^{0.2} x_2^{0.8}。

现在专家提出，为缓解高峰时段公共交通运力不足，建议取消公共交通价格补贴，使得价格恢复为 p1p_1 元/公里。但这样会使居民的出行效率降低，所以建议每个月给每一位市民一笔固定的收入补贴 ss 元。政府的目标是花最少的钱使市民的效用在补贴前后无差异。

  1. （5 分）为了使得市民的效用水平在补贴方式改变前后没有差异，ss 最少应为多少？

  2. （5 分）改为固定收入补贴之后市民选择的出行方式 x1x_1 和 x2x_2 为多少？

  3. （5 分）哪一种补贴方式对政府的财政负担较小，价格补贴还是固定收入补贴？差异为多少元？

二、（20 分）一个小商贩在小车上售卖两种商品，冰淇淋和汽水。他认为未来一周高温和气温正常的概率相等。此小商贩对收入的效用为 u(w)=w0.5u(w) = w^{0.5}。如果他全部售卖冰淇淋，则如果未来一周发生高温，收入为 2500 元；如果气温正常，收入为 400 元。如果他全部售卖汽水，则如果未来一周发生高温，收入为 1600 元；如果气温正常，收入为 900 元。

  1. （10 分）该小贩应怎样组合冰淇淋和汽水的售卖比例 α\alpha 和 1−α1-\alpha，使期望效用最大？

  2. （10 分）有一个保险给只卖冰淇淋的商贩设立。保险的保险费为每周 400 元。如果气温不高（即气温正常），则保险赔付 800 元。这个小商贩是否应该购买此保险并只售卖冰淇淋，还是应该不买保险，保持（1）中的两种商品的售卖比例？

三、（25 分）某市有两家企业 A 和 B 生产同样的产品，其生产函数分别为 ya=2(La)0.5y_a = 2(L_a)^{0.5} 和 yb=(Lb)0.5y_b = (L_b)^{0.5}，其中 LaL_a 为 A 企业的雇佣的工人数量，B 企业的变量含义以此类推。给定外生的产品价格 p=30p = 30 和外生的工资成本 w=5w = 5，两家企业分别最大化其利润。企业的生产过程中产生污染，A 和 B 企业的排污量分别为 va=(ya)2v_a = (y_a)^2 和 vb=(yb)2v_b = (y_b)^2。A 市居民的效用函数为 8(La+Lb)0.5−(va+vb)8(L_a + L_b)^{0.5} - (v_a + v_b)。

  1. （7 分）求使该市居民效用最大化的排污水平 vav_a 和 vbv_b。

  2. （6 分）如果企业 A 和 B 无视污染给居民带来的负效用，它们的总排污量是多少？

  3. （6 分）如果政府直接规定 A 和 B 两个企业的总排污量，使其等于（1）中的总排污水平，如何分配排污量才能最大化就业？

  4. （6 分） 如果政府收取排污费，费用为每单位污染收取 tt，请问能否通过设定 tt 复刻（3）问中的排污量分配？如果能，请给出 tt 的表达式。

四、（15 分）考虑以下完全信息动态博弈。博弈的参与者为一个垄断性的上游企业 U 与一个垄断性的下游企业 D。在博弈的第一阶段，企业 U 以单位价格 pup_u 向企业 D 销售中间产品。在第二阶段，企业 D 把中间产品（一比一地）加工为最终产品，并以单位价格 pdp_d 向消费者出售。假设企业 U 的生产成本为零，而企业 D 除购买中间产品的费用外亦无其他生产成本。最后，假设企业 D 面对的需求函数为 q(pd)=1−pdq(p_d) = 1 - p_d。

  1. （3 分） 考虑博弈的第二阶段。给定上游企业的中间产品供给价格 pup_u，请求出下游企业关于最终产品的利润最大化定价。

  2. （5 分）回到博弈的第一阶段。给定下游企业的利润最大化定价策略，请求出上游企业的利润最大化定价（即子博弈精炼纳什均衡定价）。

  3. （2 分）在均衡时，产生利润（即两企业利润的加总）是多少？有多少最终产品会销售给消费者？

  4. （5 分）假设现在题中的上下游企业 U 和 D 合并为一个企业。请求出在此情形下，有多少最终产品会销售给消费者？与（3）中的情形对比，产生利润与消费者福利有何变化？