北京大学光华-431金融学统计-2020年

一、(15分) 研究团队调查了大、中、小型公司的各200名高管, 询问他们是否已经开展了大数据项目, 他们的回答结果如下:

是否已开展大数据项目	小型公司	中型公司	大型公司
是	$10\%$	$35\%$	$26\%$
否	$90\%$	$65\%$	$74\%$

请在$5\%$的显著性水平下, 判断不同类型公司是否在开展大数据项目上存在显著差异.

二、(15 分) 假设 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 是独立同分布的随机变量, 它们的分布密度函数 为: $f(x ; \beta, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x-\beta|}{\sigma}}, x\in R$.
(1)(5 分) 请写出 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 的联合密度函数.
(2)(5 分) 如果$\beta$已知, 求 $\sigma$ 的极大似然估计.
(3)(5 分) 如果$\sigma$已知, 求 $\beta$ 的极大似然估计.

三、(15 分) 假设$y_1,y_2,\cdots,y_n$独立同服从下述异方差线性回归模型:

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i =1,2,\cdots,n,$

其中 $\varepsilon_i \sim N(0,i^2)$, $x_1,\cdots,x_n$是已知数.
(1)(5分) 求对数似然函数.
(2)(5分) 请写出 $(\beta_0,\beta_1)$ 的极大似然估计 $(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$ 的数学公式.
(3)(5分) 给出$(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$的统计学分布.

四、(15分) 有一位市场调查员, 他感兴趣的是该地区成年人中购买某商品的比率 $\theta$. 现在他准备调查 $n$ 个顾客($n$较大), 如果购买了该商品则纪录为 $x_i=1$, 否则 $x_i=0$.
(1)(5分) 求 $\bar{x}$的近似分布.
(2)(5分) 现他要事先确定需要 访问多少顾客才能使 $[\bar{x}-d, \bar{x}+d]$ 是 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间? 其中 $d$ 是事先给定的常数.
(3)(5分) 又假如事先知道去年该比率是 $20\%$, 调查员试图研究今年是否有显著不同, 请写出假设检验问题并给出假设检验过程.

五、(15分) 假设 $X_1$ 和 $X_2$ 都是独立同分布的泊松随机变量, 均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 。
(1) (5 分) 写出 $X_1$ 的概率分布列.
(2) (5 分) 写出 $X_1+X_2$ 的概率分布列
(3)(5 分）请问 $2 X_1$ 还服从泊松分布吗?