北京师范大学-432统计学-2019年

一、选择题（每题5分, 总计30分）

  1. 在某公司进行的英语水平测试中，新员工的平均得分是80分，标准差是 5 分，中位数是85分，则新员工得分的分布形状是 ( ).
    A. 对称的
    B. 左偏的
    C. 右偏的
    D. 无法确定

  1. 从 0-9 选一个数字, 检查学号尾号是此数的学生, 这种抽样方法是 ( )
    A. 简单随机抽样
    B. 系统抽样
    C. 方便抽样
    D. 整群抽样

  1. 根据样本已经得到了 θ\theta 的 95%95\% 置信区间 (θ^1,θ^2)(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2), 正确的是( ).
    A. 该区间以 95%95 \% 的概率包含真值
    B. 参数 θ\theta 在该区间内的概率为 95%95 \%
    C. 该区间有 95%95 \% 的可能性包含参数 θ\theta
    D. 参数 θ\theta 或者在 (θ^1,θ^2)(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2) 内, 或者不在 (θ^1,θ^2)(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2) 内

  1. 线性回归分析的说法, 正确的是 ( ）
    A. 选择解释变量时, 残差平方和越小越好
    B. 线性检验是指对系数的线性关系检验
    C. 一元线性回归中, tt 检验与 FF 检验等价
    D. 残差与误差有相同的分布, 可用残差估计误差

  1. X,YX,Y 各自服从: X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22)X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), 当 P(∣X−μ1∣<1)>P(∣Y−μ2∣<1)P\left( |X-\mu _1|<1 \right) >P\left( |Y-\mu _2|<1 \right) 时, 比较 ( ).
    A. μ1>μ2\mu_1>\mu_2
    B. μ1<μ2\mu_1<\mu_2
    C. σ1>σ2\sigma_1>\sigma_2
    D. σ1<σ2\sigma_1<\sigma_2

  1. 设 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n 为来自正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^2\right) 的样本，其中 σ2\sigma^2 为已知, Xˉ\bar{X} 为 样本均值. 考虑如下假设检验: H0:μ≤μ0H_0: \mu \leq \mu_0 v.s. H1H_1 : μ>μ0\mu>\mu_0, 标准正态分布的 95%95 \% 分位数为 1.6451.645, 在显著性水平为 0.050.05 时, 拒绝 H0H_0 等价于 (\quad).
    A. 单侧区间 (Xˉ+1.645σn,+∞)\left(\bar{X}+1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},+\infty\right) 不包含 μ0\mu_0
    B. 单侧区间 (−∞,Xˉ−1.645σn)\left(-\infty, \bar{X}-1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) 包含 μ0\mu_0
    C. 单侧区间 (−∞,Xˉ−1.645σn)\left(-\infty, \bar{X}-1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) 不包含 μ0\mu_0
    D. 单侧区间 (Xˉ+1.645σn,+∞)\left(\bar{X}+1.645 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},+\infty\right) 包含 μ0\mu_0 ；

二、分析计算题（共120分）

  1. (12分) 10 份外卖订单完成时间为 23.3、4.4、5.3、9.8、22.8、7.1、15.5、21.5、26.2、27.023.3 、 4.4 、 5.3 、 9.8 、 22.8 、 7.1 、 15.5 、 21.5 、 26.2 、 27.0, （单位 min），要求用至少两种统计指标和统计图进行分析报告.

  1. (15分) 将 A,B,C\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} 三个字母之一输入信道, 输出原字母的概率为 α\alpha, 而输出其它任一 字母的概率都是 (1−α)/2(1-\alpha) / 2. 现将字母串 AAA\mathrm{AAA} ， BBB， CCC 之一输入信道, 输入 AAA, BBB, CCC 的概率分别为 0.4,0.3,0.30.4,0.3,0.3. 已知输出为 ABC\mathrm{ABC}, 问输 入的是 AAA\mathrm{AAA} 概率是多少? (假设信道传输 每个字母的工作是独立的)

  1. (15分) 概率为1的事件的积事件一定是概率1事件吗? 说明你的理由.

  1. (16分) 某天体专家取多次测量平均值作为实际估计值.假设各测量值 是独立同分布的随机变量, 已知测量方差为 44, 若想以 95%95 \% 的把握使误差控制在 ±0.5\pm 0.5 之内, 问: 至少需要测量多少次?

  1. (15分) 总体 X∼N(μ1,σ02)X \sim N\left(\mu_1, \sigma_0^2\right), σ02\sigma_0^2 已知, 样本量为 n1n_1. 总体 Y∼N(μ2,σ12)Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_1^2\right), 样本量为 n2n_2. 两组样本独立.
    (1)(5分) 写出 μ1\mu_1 的 1−α1-\alpha 置信区间;
    (2)(5分) 写出 μ2\mu_2 的 1−α1-\alpha 置信区间;
    (3)(5分) 若 σ02=σ12\sigma_0^2=\sigma_1^2, 写出 (μ1−μ2)\left(\mu_1-\mu_2\right) 的 1−α1-\alpha 置信区间.

  1. (16分) 设X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n是i.i.d.的U(θ−1,θ+1)U(\theta-1,\theta+1)的随机样本.

(1)(8分) 求矩估计和极大似然估计;
(2)(8分) 比较说明矩估计和极大似然估计及其优缺点.


  1. (16分) 从 N(μ,1)N(\mu,1) 总体抽取 100 个随机样本 x1,⋯ ,x100x_1,\cdots,x_{100}, 为讨论假设检验问题

H0:μ=0vsH1:μ≠0H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0

构造拒绝域 W={∣xˉ∣<0.001}W=\{|\bar{x}|<0.001\}.

(1)(8分) 已知 Φ(0.01)<0.505\Phi(0.01)<0.505, 证明犯第一类错误概率 α<0.01\alpha <0.01;
(2)(8分) WW 是一个合适的拒绝域吗? 为什么?


  1. (16分) 设有位置模型:

Xi=μ+εi,X_i = \mu + \varepsilon_i,

其中ε1,⋯ ,εn\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n独立同分布, 期望为 00, 方差为 σ2\sigma^2.

(1)(8分) 给出 μ\mu 的两种估计及统计原理.
(2)(8分) 给出 σ2\sigma^2 的无偏估计 σ^2\hat{\sigma}^2, 并判断 σ^\hat{\sigma} 是否为 σ\sigma 的无偏估计.