中国科学技术大学-432统计学-2019年

一、填空题(每题5分, 共50分)

有一个信号系统, 输入 0 而输出 1 的可能性为 $0.04$ , 输入 1 而输出 0 的可能性为 0.02; 输入 0 和 1 的概率都是 $0.5$ , 那么输出结果为 0 时, 这个信号是真实的概率是 $\text{\_\_\_\_\_}$ .

若 $f(x)=a /\left(1+x^{2}\right)$ 是密度函数, 则 $a=$ $\text{\_\_\_\_\_}$

甲乙对弈, 任意一局甲赢的概率是 ${p}$ , 乙赢的概率是 $1-{p}_{0}$ . 若赢一局得一分, 谁先比另一人多得两分谁就是赢家, 则甲赢的概率是 $\text{\_\_\_\_\_}$ .

一根绳子长 4 米, 剪成两段 X和 Y, 则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数是 $\text{\_\_\_\_\_}$ .

已知泊松分布的参数是 $\lambda$ , 若 ${E}({X}-1)({X}-2)=5$ , 则 $\lambda=$ $\text{\_\_\_\_\_}$ .

某个班级有 6 个女生和 10 个男生, 随机组成 8 个小队进行比赛, 每个小队两个人, 记 $X$ 为两个人都是女生的小队个数, 则 $E(X)=$ $\text{\_\_\_\_\_}$ .

${X_i}({i}=1,2, \cdots, 9)$ 服从标准正态分布, 若记 $F(x)$ 为其分布函数, 令 $Z=\max \left\{ F\left( X_1 \right) ,F\left( X_2 \right) ,\cdots ,F\left( X_9 \right) \right\}$ , 则 $EZ=$ $\text{\_\_\_\_\_}$ .

一组简单随机样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 的观测值如下:

-2,-1,0,2

若 ${Y}={X}^{3}$ 服从正态分布 ${N}(\mu, 1)$ , 则 $\mu$ 的 $95\%$ 水平置信区间是 $\text{\_\_\_\_\_}$ .

设 ${X_i}({i}=1,2, \cdots, {n})$ 是来自正态分布 ${N}(\mu, 25)$ 的简单随机样本, 在 $\alpha=0.05$ 下, 使得样本落入拒绝域 $P (\mid \bar{X}-\mu_0 \mid>2.5)$ 的最小样本容量 ${n}$ 为 $\text{\_\_\_\_\_}$ .

设 ${X}_{i} ({i}=1,2, \cdots, 5)$ 是来自同一正态分布的简单随机样本, ${Z}=\frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i, {Y}=\frac{1}{2} \sum_{i=4}^{5} X_i, s^2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3{\left( X_i-Z \right)}$ , 则 $\frac{\sqrt{2}\left( Z-Y \right)}{s}$ 服从的分布是 $\text{\_\_\_\_\_}$ .

二、(20分) 设随机变量 $Y$ 有概率密度函数 ${f}({y})=\left\{\begin{array}{ll}2 y & 0<y<1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}, {X}\right.$ 服从两点分布, ${X}=0$ 的概率为 $0.5, {X}=2$ 的概率为 $0.5$ , 设 ${Z}={X}+{Y}$ .

(1) $P(Y<EY)$ ;

(2) ${Z}$ 的概率密度函数.

三、(20分) ${X_i}({i}=1,2, \cdots, {n})$ 是来自均匀分布 $U(0, \theta)$ 总体的简单随机样本, 有以下几个估计量 $\hat{\theta_1}=A_n \bar{x}$ , $\hat{\theta_2}=B_n x_{(1)}, \hat{\theta_3}={C_n}x_{(n)}$ .

(1) 若上述三个估计量都是 $\theta$ 的无偏估计, 试求 $A_n,B_n,C_n$ ;

(2) 在(1) 的条件下, 哪个估计量最有效.

四、(20分) 秋名山车队测试了7辆AE86过弯时的速度, $X$ 为普通漂移过弯时的速度, $Y$ 为采用排水渠过弯的速度, 考虑到车性能的差异和车手水平以及测量误差等因素, 我们可以假设 $X_i\sim N(\mu_1,\sigma^2)$ , $Y_i\sim N(\mu_2,\sigma^2)$ , 其中参数均未知, 并且诸 $X_i, Y_i$ 独立.

车辆号	1	2	3	4	5	6	7
${X}$	$15.3$	$20.1$	$18.5$	$21.3$	$17.8$	$19.6$	$16.3$
${Y}$	$17.2$	$19.2$	$20.0$	$20.8$	$19.1$	$20.4$	$17.7$

(1) 尝试建立成对数据的假设检验, 并判断采用排水渠过弯是否可以显著增加车速(选取显著性水平 $\alpha = 0.05$ );

(2) 令 $d_i=\mathbf{I}_{\left\{ Y_i>X_i \right\}}$ , 证明 $d_i$ 服从伯努利分布, 若假设其参数为 $p$ , 考虑假设检验问题:

H_0: p = 0.5 \quad vs \quad H_1: p > 0.5

给出该检验的拒绝域, 并判断采用排水渠过弯是否可以显著增加车速(选取显著性水平 $\alpha = 0.05$ ).

五、(20分) 以下是甲乙工厂生产的同一零件的数据, 其中零件质量分为差, 一般, 好三个等级.

	差	一般	好
甲	56	40	14
乙	42	40	18

(1) 试给出甲乙两个工厂生产该零件的差品率的极大似然估计;

(2) 在0.05的显著性水平下, 判断甲乙两个工厂的生产水平是否一致.

六、(20分) 考虑一元线性回归模型 $Y_{i}=\alpha + \beta x_{i}+\varepsilon_{i}, i=1, \cdots,$ 其中 $E \varepsilon_{i}=0, {Var}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma^{2}, {Cov}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0, \forall i \neq j$ , 采集到的数据如下表:

	1	2	3	4	5	6	7
$X$	$17.1$	$10.5$	$13.8$	$15.7$	$11.9$	$10.4$	$15.0$
$Y$	$16.7$	$10.4$	$13.5$	$15.7$	$11.6$	$10.2$	$14.5$

(1) 试求 $\alpha$ 以及 $\beta$ 的最小二乘估计, 并给出 $\sigma^2$ 的估计;

(2) 若 $x_0 = 15.3$ , 在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下求 $Y_0$ 的区间估计.