中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2019年

一、(15分) 将kk个相同的球随机放入nn个不同的罐子,每个球放入各个罐子的可能性相同. 试求

(1)(7分) 指定的某个罐子恰有rr个球的概率(r<k);(r<k) ;

(2)(8分) 不空罐子数目的数学期望.


二、(20分) 假设二维随机变量(X,Y)(X, Y)的联合概率密度函数为

f(x,y)={214x2y,x2≤y≤10, 其他 f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{21}{4} x^{2} y, & x^{2} \leq y \leq 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.

(1)(7分) 求Z=X2YZ=X^{2} Y的概率密度函数;

(2)(8分) 求E(Y∣X=0.5)E(Y |X = 0.5);

(3)(5分) 求EX2E X^{2}.


三、(15分) 设离散型随机变量XX和YY不相关, 分别服从如下分布律

XX -1 0 1
PP 1/4 1/2 1/4

YY 0 1
PP 1/4 3/4

若 P(XY=0)=12P(X Y=0)=\frac{1}{2},试求

(1)(8分) X+YX + Y的分布律;

(2)(7分) Var(X∣Y=1){Var}(X \mid Y=1).


四、(15分) 设随机变量序列{Xi}i=1∞\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}相互独立，且均服从(0,1)(0,1)上的均匀分布,试证明

(1)(7分) Yn=(∏i=1nXi)−1/n→pe,Y_{n}=\left(\prod_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{-1 / n} \rightarrow_{p} e,即依概率收敛成立, 此处ee为自然常数;

(2)(8分) 证明n(Yn−e)→dN(0,e2),\sqrt{n}\left(Y_{n}-e\right) \rightarrow_{d} N\left(0, e^{2}\right),即依分布收敛成立.


五、(20分) 设X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n}为来自总体XX的一组简单随机样本, 且log⁡X∼N(θ,θ),\log X \sim N(\theta, \theta),其 中θ>0\theta>0为未知参数. 试

(1)(10分) 求θ\theta的最大似然估计θ^\hat{\theta}, 并证明其是唯一的;;

(2)(10分) 证明θ^\hat{\theta}低估θ,\theta,但仍是θ\theta的相合估计.


六、(15分) 设XX为服从如下分布的离散型随机变量

P(X=−1)=p,P(X=k)=(1−p)2pk,k=0,1,2,⋯P(X=-1)=p, P(X=k)=(1-p)^{2} p^{k}, k=0,1,2, \cdots

其中p∈(0,1)p \in(0,1)为未知参数. 试

(1)(7分) 求(1−p)2(1-p)^{2}的最小方差无偏估计 ;

(2)(8分) 证明pp的最小方差无偏估计不存在.


七、(25分) 设如下回归模型

Yi=α+βξi+ϵiXi=ξi+δi,i=1,…,n\begin{aligned} Y_{i} &=\alpha+\beta \xi_{i}+\epsilon_{i} \\ X_{i} &=\xi_{i}+\delta_{i}, i=1, \ldots, n \end{aligned}

其中ϵ1,…,ϵn\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n}i.i.d∼N(0,σe2),δ1,…,δn\sim N\left(0, \sigma_{e}^{2}\right), \delta_{1}, \ldots, \delta_{n}i.i.d∼N(0,σδ2),\sim N\left(0, \sigma_{\delta}^{2}\right),且诸ϵi′\epsilon_{i}^{\prime}和δi′\delta_{i}^{\prime}相互独立. σδ2=σe2λ,\sigma_{\delta}^{2}=\sigma_{e}^{2} \lambda,其中λ\lambda固定且已知. 给定观测数据(X1,Y1),…,(Xn,Yn),\left(X_{1}, Y_{1}\right), \ldots,\left(X_{n}, Y_{n}\right),则

(1)(15分) 求α,β,σδ2\alpha, \beta, \sigma_{\delta}^{2}的最大似然估计α^,β^,σ^δ2;\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\sigma}_{\delta}^{2} ;

(2)(10分) 若假设对充分大的n,ξˉn=1n∑i=1nξin,\bar{\xi}_n =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\xi _i}和c1≤1n∑i=1n(ξi−ξˉn)2≤c2c_1 \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\xi_{i}-\bar{\xi}_{n}\right)^{2} \leq c_{2}均一致有界, 证明α^,β^\hat{\alpha}, \hat{\beta}为相合估计.


八、(25分) 假设X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n}为来自总体f(x)=1θe−x−θθI(x>θ)f(x)=\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}} I(x>\theta)的简单随机样本,其中θ>0\theta>0为未知参数. 记Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}为样本均值,X(1)=min⁡1≤i≤nXi,X_{(1)}=\min _{1 \leq i \leq n} X_{i},对
0<α<1/2,0<\alpha<1 / 2,则

(1) (10分) 利用枢轴变量法, 分别基于Xˉ\bar{X}和X(1)X_{(1)}构造θ\theta的1−α1-\alpha置信区间.

(2) (8分) 上述两个置信区间何者更优?

(3) (7分) 试给出假设H0:P(X>1)≥p0H_{0}: P(X>1) \geq p_{0}的一个水平α\alpha检验, 其中0<p0<10<p_{0}<1为一已知数.