南开大学-432统计学-2019年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

  1. 4 对夫妇任意地排成一列, 每一位丈夫都排在他妻子后面的概率为( ).

A. 1/2;

B. 1/8;

C. 1/16;

D. 1/70.


  1. 设P(AB)=0P(AB) = 0, 则下列说法正确的是( ).

A. AA 和 BB 不相容;

B. AA 和 BB 相容;

C. ABAB 是不可能事件;

D. ABAB 不一定是不可能事件.


  1. 学生在做一道有 4 个可选答案的单项选择题, 如果他不知道正确答案时就 随机猜测. 假设该学生知道正确答案的概率为 0.2. 现从卷面上看该题答 对了, 则在此情形下该学生确实知道正确答案的概率是( ).

A. 0.4;

B. 0.5;

C. 0.6;

D. 0.7.


  1. 设 X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为来自正态总体 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, 其中 μ,σ2\mu, \sigma^{2} 均为未知, 则关于假设 H0:μ≤0↔H1:μ>0H_{0}: \mu \leq 0 \leftrightarrow H_{1}: \mu>0 的显著性检验为( ).

A. 单侧 tt 检验;

B. 单侧 μ\mu 检验;

C. 双侧tt 检验;

D. 双侧 μ\mu 检验.


  1. 设连续随机变量 XX 的密度函数是一个偶函数, F(x)F(x) 为 XX 的分布函数，则对任意实数 a>0a>0, 下列结论不成立的是( ).

A. F(−a)=1−F(a)F(-a)=1-F(a);

B. P(∣X∣<a)=2F(a)−1P(|X|<a)=2 F(a)-1;

C. P(∣X∣>a)=2−2F(a)P(|X|>a)=2-2 F(a);

D. E(a−X)=E(X−a)E(a-X)=E(X-a).


  1. 设 X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为 来 自 正 态 总 体 N(0,σ2)N\left(0, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, 为使c∑i=1n−1(Xi+1−Xi)2c \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2} 为 σ2\sigma^{2} 的无偏估计, 则c=c =( ).

A. 1n−1\frac{1}{n-1};

B. 1n\frac{1}{n};

C. 12(n−1)\frac{1}{2(n-1)};

D. 12n\frac{1}{2 n}.


  1. 如果 Xn⟶lcX_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} c 以及 Yn⟶lYY_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} Y, 其中cc 是一个常数, YY是一个随机变量, 那么以下说法不一定正确的是 ( ).

A. Xn⟶pcX_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} c;

B. Yn⟶pYY_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} Y;

C. Xn+Yn⟶lc+YX_{n} + Y_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} c + Y;

D. XnYn⟶lcYX_{n} Y_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} c Y.


二、填空题(每题4分, 共32分)

  1. 某地区居民的肝癌发病率为0.0004, 现用甲胎蛋白法进行普查.研究表明,化验结果是有错误的. 已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性(无病). 现某人的检查结果呈阳性,问他真的患有肝癌的概率为多少________.

  1. 二维随机变量 (X,Y)(X, Y) 服从区域 D={(x,y)∣0<x<1,0<x<y<1}D=\{(x, y) \mid 0<x<1,0<x<y<1\} 上的均匀分布,则 XX 与 YY 的相关系数为________.

  1. 设二维连续随机变量 ( X,YX, Y ) 的联合密度函数为

f(x,y)={214x2y,x2<y<1;0, 其他 .f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{21}{4} x^{2} y, x^{2} < y < 1; \\ 0, \quad \text { 其他 }. \end{array}\right.

则P(Y>0.75∣X=0.5)={P}(Y > 0.75 \mid X=0.5)=________.


  1. 一份考卷由99 道题目组成, 并按由易到难的顺序排列. 某学生答对第一题的概率为0.99, 答对第二题的概率为0.98, 一般地, 他答对第ii道题的概率为1−i100,(i=1,2,⋯ )1 - \frac{i}{100} , (i=1,2,\cdots).假如该学生回答各道题目是相互独立的, 并且要回答对60题及以上才算通过考试, 则该同学通过考试的概率为________.

  1. 设总体服从韦布尔分布 Weibull(m,η)Weibull(m, \eta),其密度函数为

f(x;m,η)=mxm−1ηmexp⁡{−(xη)m},x>0,m>0,η>0f(x ; m, \eta)=\frac{m x^{m-1}}{\eta^{m}} \exp \left\{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right\}, x>0, m>0, \eta>0

则 x(1)x_{(1)} 服从________.


  1. lim⁡n→∞(1+n+n22!+⋯+nnn!)e−n=\lim _{n \rightarrow \infty }\left(1+n+\frac{n^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{n^{n}}{n !}\right) e^{-n} =________.

  1. 设总体 X∼U(0,θ)X \sim U(0, \theta),现从该总体中抽取容量为 10 的样本,样本值为:

0.51.30.61.72.21.20.81.52.01.6\begin{array}{llllllllll} 0.5 & 1.3 & 0.6 & 1.7 & 2.2 & 1.2 & 0.8 & 1.5 & 2.0 & 1.6 \end{array}

则参数 θ\theta 的矩估计是________.


  1. 设一组来自正态总体 N(μ,4)N(\mu, 4) 的简单随机样本 , 样本值为

121199.588.510.511.59.810.2\begin{array}{llllllllll} 12 & 11 & 9 & 9.5 & 8 & 8.5 & 10.5 & 11.5 & 9.8 & 10.2 \end{array}

则关于 μ\mu 的置信水平为 90%90 \% 的置信区间为________.


三、解答题(90分)

1.(10分)设随机变量 U1{U}_{1} 与 U2{U}_{2} 相互独立, 且都服从 (0,1)(0,1) 上的均匀分布. Z1=−2ln⁡U1,Z2=2πU2{Z}_{1}=-2 \ln U_1, Z_2 = 2\pi U_2. 试证明:

(1) Z1∼Exp(12),Z2∼U(0,2π)Z_1 \sim Exp(\frac{1}{2}), Z_2 \sim U(0,2\pi);

(2) X=Z1cos⁡Z2X=\sqrt{Z_{1}} \cos Z_{2} 和 Y=Z1sin⁡Z2Y=\sqrt{Z_{1}} \sin Z_{2} 是相互独立的标准正态分布随机变量.


2.(15分)设 x1,⋯ ,xnx_{1}, \cdots, x_{n} 是来自正态总体 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的样本,其样本均值和样本方差分别为

xˉ=1n∑i=1nxi, 和 s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2,\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, \text { 和 } s^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2},

试证明:

(1) xˉ\bar{x} 与 s2s^{2} 相互独立;

(2) xˉ∼N(μ,σ2/n)\bar{x} \sim N\left(\mu, \sigma^{2} / n\right);

(3) (n−1)s2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1).


3.(10分)设总体 X∼U(θ−12,θ+12),X1,X2⋯XnX \sim {U}(\theta- \frac{1}{2}, \theta+ \frac{1}{2}), {X}_{1}, {X}_{2} \cdots {X}_{n} 为来自该总体的简单随机样本,证明 12(x(1)+x(n))\frac{1}{2}\left(x_{(1)}+x_{(n)}\right)是θ\theta 的无偏估计.


4.(10分)某电工器材厂生产一种保险丝, 测量其熔化时间, 依通常情况方差为 400, 今从某天产品中抽取容量为 25 的样本, 测量其熔化时间并计算 Xˉ=62.24\bar{X}=62.24,s2=404.77{s}^{2}=404.77, 问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著性差异(取 α=0.05\alpha=0.05, 假定熔化时间服从正态分布).


5.(10分) 设总体 XX 的分布函数 F(x)F(x) 是连续的, x(1),⋯ ,x(n)x_{(1)}, \cdots, x_{(n)} 为取自此总体的次序统计量, 设 ηi=F(x(i))\eta_{i}=F\left(x_{(i)}\right), 试证:

(1) η1≤η2≤⋯≤ηn\eta _1 \le \eta _2 \le \cdots \le \eta _n, 且它们是来自于总体 U(0,1)U\left(0,1\right)的次序统计量;

(2) E(ηi)=in+1,Var(ηi)=i(n+1−i)(n+1)2(n+2),1⩽i⩽nE\left(\eta_{i}\right)=\frac{i}{n+1}, {Var}\left(\eta_{i}\right)=\frac{i(n+1-i)}{(n+1)^{2}(n+2)}, 1 \leqslant i \leqslant n.


6.(15分) 设有随机变量 X,YX,Y, 且 X,YX,Y的方差均存在. 试证明:

(1) 相关系数 Corr(X,Y)Corr(X,Y)存在;

(2) −1⩽Corr(X,Y)⩽1-1 \leqslant {Corr}(X, Y) \leqslant 1;

(3) Corr(X,Y)=±1{Corr}({X}, {Y})=\pm 1 的充要条件为 X{X} 与 Y{Y} 之间几乎处处有线性关系, 即存在a(a≠0)a(a \neq 0) 与 bb 使得 P(Y=aX+b)=1,{P}(Y=a X+b)=1, 其中当 Corr(X,Y)=1{Corr}(X, Y)=1 时有 a>0a>0,当 Corr(X,Y)=−1{Corr}(X, Y)=-1 时有 a<0a<0.


7.(10分) 设 x1,⋯ ,xnx_{1}, \cdots, x_{n} i. i. d. ∼N(μ,1)\sim N(\mu, 1), 求 μ2\mu^{2} 的 UMVUE. 证明此 UMVUE 达不到 C−RC-R 下界,即它不是有效估计.


8.(10分) 设 X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为来自两点分布 b(1,p){b}(1, {p}) 的简单随机样本，其中 p∈(0,1)p \in(0,1), 记 n1,n2n_{1}, n_{2}为上述 n{n} 个样本中取值分别为1和0的个数 , 如 记q=1−p,χ2=(n1−np)2np+(n2−nq)2nq{q}=1-{p}, \chi^{2}=\frac{\left(n_{1}-n p\right)^{2}}{n p}+\frac{\left(n_{2}-n q\right)^{2}}{n q}, 证明 χ2⟶lχ2(1)\chi^{2} \stackrel{l}{\longrightarrow} \chi^{2}(1).