清华大学-432统计学-2019年

一、(30分) 独立随机变量序列 {Xn}\left\{X_{n}\right\}, n≥1n \geq 1, 其中 Xn∼N(1n,1n)X_{n} \sim N\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right).

(1)(10分) 当 n→+∞n \rightarrow+\infty 时, 是否有 Xn→P0,X_{n} \stackrel{P}{\rightarrow} 0, 请说明理由;

(2)(10分) 当 n→+∞n \rightarrow+\infty 时, 是否有 Xn→a.s.0,X_{n} \stackrel{\text {a.s.}}{\rightarrow} 0, 请说明理由;

(3)(10分) 是否存在单调增加的正数列 {an},\left\{a_{n}\right\}, 使 anXn2→dX?a_{n} X_{n}^{2} \xrightarrow{d} X ? 其中 X∼χ2(1)X \sim \chi^{2}(1)


二、(20分) X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自总体 N(θ,1)N(\theta, 1) 的简单随机样本，其中 θ>0,\theta>0, 试求

(1)(10分) θ\theta 的极大似然估计 θ^MLE\widehat{\theta}_{M L E},

(2)(10分) θ^MLE\hat{\theta}_{M L E} 的极限分布.


三、(30分) X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自总体 f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1,θ>0f(x ; \theta)=\theta x^{\theta-1}, 0<x<1, \theta>0 的简单随机样本.

(1)(10分) ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_{i} 是否为充分统计量?

(2)(10分) 求 θ\theta 的充分完全统计量 θ^\hat{\theta};

(3)(10分) 基于 θ\theta 构造 θ\theta 的相合估计量.


四、(20分) 假设能够生成一列服从均匀分布 U(0,1)U(0,1) 的独立同分布样本 U1,U2,⋯ ,UnU_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n}. 现有随机变量 XX 的密度函数为 f(x)=2x,0<x<1f(x)=2 x, 0<x<1 . 请用两种不同方法通过 U1,U2,⋯ ,UnU_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n} 生成服从该分布的随 机数序列 X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n }.


五、(20分) 两独立样本 {Xn}\left\{X_{n}\right\} i.i.d. ∼N(μ1,σ12)\sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) 和 {Ym}\left\{Y_{m}\right\} i.i.d. ∼N(μ2,σ22),\sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right), 求假设检验问题 :

H0:μ1=μ2vsH1:μ1≠μ2H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} \quad vs \quad H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}

的拒绝域, 其中σ1=σ2\sigma_1=\sigma_2已知.


六、(30分) 简答题:

(1)(10分) 简述假设检验中功效,两类错误和 pp 值的概念 ;

(2)(10分) 两类错误能不能同时很小? 为什么?

(3)(10分) 区间估计中的置信区间与假设检验中的拒绝域之间有何联系?请举例说明.