北京大学数院-431金融学综合-2019年

一、(10分) 盒中有 10 个乒乓球,2 个被用过,其余的都是新的.第一次比赛时从中任取 3 个球用,比赛结束后放回.第二次比赛再取 3 个.

(1)(5分) 求第二次比赛取得都是新球的概率;

(2)(5分) 已知第二次比赛取得都是新球, 求第一次取得都是新球的概率.

二、(10分) 已知随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)=\frac{1}{b} e^{-x^{2}+2 x}, x \in R$ ,

(1)(5分) 求 $b$;

(2)(5分) 求 $E\left(e^{1-X^{2}}\right)$.

三、(10分) $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right),$ 指出 $X+Y$ 和 $X-Y$ 相互独立的充要条件.

四、(10分) 独立序列 $\left\{X_{n}\right\},$ 其子列 $\left\{X_{2 n-1}\right\}$ 独立同分布, $E X_{1}=0, D X_{1}=1,$ 子列 $\left\{X_{2 n}\right\}$ 独立同分布 $, P\left(X_{2}=1\right)=P\left(X_{2}=-1\right)=\frac{1}{2}$ .证明

$S_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} X_{2 i-1} X_{2 i}$

按分布收敛到标准正态分布.

五、(10分) 公司 1 和公司 2 是否违约相互独立,发生违约的次数都是强度为 $\lambda$ 的泊松过程, 记公司 $i$ 第一次发生违约的时间为 $T_{i}$.

(1)(2分) 到 $t$ 时刻未发生违约的概率;

(2)(2分) 求违约风险 $h_{i}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P\left\{T_{i}<t+\Delta t \mid T_{i}>t\right\}}{\Delta t}$;

(3)(3分) 求 $\operatorname{Cov}\left(\min \left\{T_{1}, T_{2}\right\}, \max \left\{T_{1}, T_{2}\right\}\right)$;

(4)(3分) 已知 $T_{1}+T_{2}=t,$ 求 $T_{1}$ 的条件分布.

六、(10分) 总体 $X \sim f(x)=\theta x^{\theta-1} I[0<x<1],$ 求矩估计并证明其强相合性.

七、(10分) 人群中支持某政策的比例为 $p,$ 未知. 随机抽 $n$ 人,设有 $x$ 人支持, $\hat{p}=\frac{x}{n}$ 为 样本支持率.

(1)(5分) 用正态近似法给出 $p$ 的 $95 \%$ 置信区间 $;$

(2)(5分) 要求置信区间长度小于 0.2, $n$ 至少需要多大.

八、(10分) 叙述2×2 的列联表独立性检验.

九、(10分) 设有线性回归模型

$Y_{ij} = \alpha_i + \beta X_{ij} + \varepsilon_{ij},\quad i=1,2,\cdots,m,\quad j = 1,2\cdots,n,$

其中误差项$\varepsilon_{ij}$独立同服从正态$N(0,\sigma^2)$, $\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta$和$\sigma^2$是未知参数. 求$(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta)$的最大似然估计.

十、(10分) $x_{1}, \ldots, x_{n}$ 不全为 $0, \varepsilon_{i},$ i.i.d. $\sim N\left(0, \sigma^{2}\right),$ 有观测值 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ 满足 $y_{i}=b x_{i}+\varepsilon_{i}, b, \sigma^{2}$ 未知.

(1) 求 $b, \sigma^{2}$ 最大似然估计;

(2) 求 $\hat{b}$ 的分布;

(3) $H_{0}: b=0$ vs $H_{1}: b \neq 0,$ 构造水平为 $\alpha$ 的拒绝域.