复旦大学-432统计学-2019年

一、(15分) 甲袋中有$n-1$个白球1个黑球, 乙袋中有$n$个白球, 每次从两袋中各取一球进行交换, 求交换$N$次后黑球还在甲袋的概率.

二、(15分) $f(x, y)=A e^{-(2 x+3 y)} I[x>0, y>0],$ 求
(1)(3分) $A$;
(2)(3分) $P(X<2, Y<1)$;
(3)(3分) $X$的边际密度;
(4)(3分) $P(X<3 \mid Y<1)$;
(5)(3分) $f(x \mid y)$.

三、(10分) $X_{1}, X_{2},$i.i.d $\sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right),$ 求 $E \max \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$.

四、(20分) $E X=0, \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2},$ 证明对任意 $\varepsilon>0,$ 有
(1)(10分) $P(|X|>\varepsilon) \leq \frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}$;
(2)(10分) $P(X>\varepsilon) \leq \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+\varepsilon^{2}}$.

五、(10分) $X_{1}, X_{2}, i . i . d \sim N(0,1),$ 求 $\frac{X_{1}}{X_{2}}$ 的分布.

六、(20分) $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, i . i . d \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), \mu$ 已知, 证明:
(1)(10分) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ 是 $\sigma^{2}$ 的有效估计;
(2)(10分) $\frac{1}{n} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right|$ 是 $\sigma$ 的无偏估计, 但不有效.

七、(20分) 总体的分布函数$F(x)$连续单增, $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}$ 是来自该总体的随机样本的次序统计量, $Y_{i}=F\left(X_{(i)}\right),$ 求
(1)(10分) $E Y_{i}, \operatorname{Var}\left(Y_{i}\right)$;
(2)(10分) $\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\right)^{T}$ 的协方差矩阵.

八、(20分) 有来自总体$U(\theta,2\theta)$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 求$\theta$的矩估计和MLE, 并验证无偏性和相合性.

九、(20分) 设$X_1,\cdots,X_n$是来自$N(\mu,1)$的随机样本, 考虑假设检验问题

$H_0:\mu = 1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu=2$

给定拒绝域$W=\{\bar{X}>1.6\}$, 回答下述问题:
(1)(10分) 求犯两类错误的概率$\alpha$, $\beta$;
(2)(10分) 要求第二类错误$\beta\le0.01$, 求样本量的取值范围.