中山大学-432统计学-2019年

一、选择题(每小题3分, 共60分)

1. 将一个骰子独立地郑两次。引进事件 : $A_{1}=\{$ 郑第一次出现奇数点 $\}, A_{2}=$ {掷第二次出现偶数点 $\}, A_{3}=\{$ 奇数点、偶数点各出现一次 $\}, A_{4}=\{$ 奇数点出现两次 $\}$, 则 ( )
   (A) $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 两两独立
   (B) $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 相互独立
   (C) $A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 两两独立
   (D) $A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 相互独立

2. 下面的说法哪个是错误的? ( )
   (A) $\mathrm{P}(A B) \geq P(A)+\mathrm{P}(B)-1$
   (B) $|\mathrm{P}(A B)-\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)| \leq \frac{1}{4}$
   (C) $\mathrm{P}(A \cup B) \leq \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$
   (D) 两个随机变量不相关不可能推出两个随机变量独立

3. 某领导有 3 个顾问, 假定每个顾问贡献正确意见的概率是 0.5。现为某事可行与否而个别征求各 顾问意见, 并按多数人的意见做出决策, 则做出正确决策的概率是( )
   (A) $0.5$
   (B) $0.6$
   (C) $2 / 3$
   (D) $0.7$

4. 甲、乙两人轮流射击, 先击中目标者获胜。甲、乙击中目标的概率分别是 $1 / 3$ 和 $1 / 2$, 甲先射, 甲 获胜的概率是( )
   (A) $1 / 3$
   (B) $1 / 2$
   (C) $2 / 3$
   (D) $3 / 4$

5. 从数 $1 、 2 、 3 、 4$ 中任取一个数, 记为 $X$; 再从 $1, \ldots, X$ 中任取一个数, 记为 $Y$, 则 $\mathrm{P}(Y=3)$ 和 $\mathrm{P}(X=3 \mid Y=3)$ 分别等于 ( )
   (A) $1 / 4$ 和 $1 / 3$
   (B) $1 / 4$ 和 $3 / 8$
   (C) $7 / 48$ 和 $4 / 7$
   (D) $1 / 3$ 和4/7

6. 若随机变量 $X$ 服从 $N\left(a, \sigma^{2}\right)$, 则 $E|X-a|$ 等于( )
   (A) $\sqrt{2 / \pi} \sigma$
   (B) $\sigma / 2$
   (C) $\sigma$
   (D) $2 \sigma$

7. 随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=2 e^{-2 x}, x>0$ 。令 $Y=\min (X, 4)$, 则 $\mathrm{P}(Y=4)$ 等于( )
   (A) $e^{-2}$
   (B) $e^{-4}$
   (C) $e^{-8}$
   (D) $1-e^{-4}$

8. 下面关于方差的叙述中, 不正确的是( )
   (A) 若 $\eta_{1}$ 与 $\eta_{2}$ 独立, 则 $\mathrm{D}\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)=\mathrm{D}\left(\eta_{1}\right)+\mathrm{D}\left(\eta_{2}\right)$
   (B) 若 $\mathrm{D}\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)=\mathrm{D}\left(\eta_{1}\right)+\mathrm{D}\left(\eta_{2}\right)$, 则 $\eta_{1}$ 与 $\eta_{2}$ 不相关
   (C) 当 $\varepsilon>0$ 时, $P\{|\eta-E \eta| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(\eta)}{\varepsilon}$
   (D) 当 $D(\eta)=0$ 时, $P\{\eta=E \eta\}=1$

9. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且都服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布, 则 ()
   (A) $Z=X+Y$ 服从 $[0,2]$ 上的均匀分布
   (B) $Z=X-Y$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布
   (C) $Z=\max \{X, Y\}$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布
   (D) $(X, Y)$ 服从区域 $\{(x, y): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 上的均匀分布

10. 一本书在交付印刷前, 作家和出版社先后对其进行校正。该书有 300 页, 每页的错误数相互独 立且都服从参数为 6 的泊松分布。在作家的校对过程中, 每个错误相互独立地以概率 $0.8$ 被订正。
    在出版社进行的第二次校正中, 前一稿的打印错误相互独立地以概率 $0.9$ 被订正。出版后整本书的 错误数大于等于 30 的概率 (用标准正态分布函数 $\Phi(\mathrm{x}$ )表示) 大约是( )
    (A) $\Phi(1)$
    (B) $\Phi(1.5)$
    (C) $\Phi(2)$
    (D) $2-\Phi(2)$

11. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本。若 $\mathrm{E} X$ 存在并记为 $\mu, \bar{X}$ 为样本均值, 则 ()
    (A) $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的相合（consistent）估计量
    (B) $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的最大似然估计量
    (C) $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的充分统计量
    (D) $|\bar{X}|$ 是 $|\mu|$ 的无偏估计量

12. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为标准正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ 的简单随机样本。记 $T_{1}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, T_{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$, 则 ()
    (A) $\frac{T_{2} /(n-1)}{T_{1} / n} \sim \mathrm{F}(n-1, n)$
    (B) $\frac{T_{2} /(n-1)}{T_{1} / n} \sim \operatorname{Beta}(n-1, n)$
    (C) $\frac{T_{2}}{T_{1}} \sim \operatorname{Beta}(n-1, n)$
    (D) $\frac{T_{2}}{T_{1}} \sim \operatorname{Beta}\left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

13. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本。记 $T_{1}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, T_{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$, 则 ()
    (A) $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 相互独立
    (B) $T_{1}$ 和 $T_{1}-T_{2}$ 相互独立
    (C) $T_{1}$ 和 $T_{1} / T_{2}$ 相互独立
    (D) $T_{1}+T_{2}$ 和 $T_{1}-T_{2}$ 相互独立

14. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为泊松分布 Poisson $(\lambda)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 和 $S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 为样本均值及样 本方差。令 $Z$ 为服从标准正态分布的随机变量, 则当 $n \rightarrow+\infty$ 时, ()
    (A) $\frac{\sqrt{n} \bar{x}}{s}$ 依分布收敛到 $Z$
    (B) $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\lambda)}{\bar{X} / S}$ 依分布收敛到 $Z$
    (C) $\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\lambda)}{\lambda}$ 依分布收敛到 $Z$
    (D) $\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\lambda)}{\bar{x}}$ 依分布收敛到 $Z$

15. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 已知而 $\sigma^{2}$ 末知, 则下列不是统计量的 是( )
    (A) $\sum_{i=1}^{n} X_{i} / \sigma$
    (B) $X_{1}$
    (C) $\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} / n$
    (D) $\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \mu$

16. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为均匀分布 $\mathrm{U}(0, \theta)$ 的简单随机样本, 则 $\theta$ 的最大似然估计量为( )
    (A) $X_{(1)}$
    (B) $\bar{X}$
    (C) $X_{(n)}$
    (D) $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 的中位数

17. 下列关于统计学常用的分布的判断中, 错误的是( )
    (A) 若 $Z \sim \mathrm{F}\left(n_{1}, n_{2}\right)$, 则 $1 / Z \sim \mathrm{F}\left(n_{2}, n_{1}\right)$
    (B) 若 $T \sim t(n)$, 则 $T^{2} \sim \mathrm{F}(1, n)$
    (C) 若 $X \sim N(0,1)$, 则 $X^{2} \sim \chi^{2}(1)$
    (D) 若 $X \sim N(0,1), Y \sim \chi^{2}(n)$, 则 $X / Y \sim t(n)$

18. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}(\mu, 1)$ 的简单样本, 则 $\mu$ 的双侧 $95 \%$ 置信区间为( )
    (A) $\left(\bar{X}-\frac{1.64}{\sqrt{n}}, \bar{X}+\frac{1.64}{\sqrt{n}}\right)$
    (B) $\left(\bar{X}-\frac{1.64}{\sqrt{n}}, \bar{X}+\frac{1.96}{\sqrt{n}}\right)$
    (C) $\left(\bar{X}-\frac{1.96}{\sqrt{n}}, \bar{X}+\frac{1.64}{\sqrt{n}}\right)$
    (D) $\left(\bar{X}-\frac{1.96}{\sqrt{n}}, \bar{X}+\frac{1.96}{\sqrt{n}}\right)$

19. 假设其他条件不变，把置信度 $\alpha$ 从 $2.5 \%$ 升到 $5 \%$, 则总体均值 $\mu$ 的置信程度为 $1-\alpha$ 的置信区间的 宽度将（）
    (A) 变长
    (B) 不变
    (C) 变短
    (D) 可能变长, 也可能变短

20. 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本, $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样 本。若采用方差分析检验: $\mathrm{H}_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}, \mathrm{H}_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}$, 检验统计量为 $F=\frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSW}}$, 其中组间方差MSB为 ( )
    (A) $\frac{n(\bar{X}-\bar{Y})^{2}}{2}$
    (B) $\frac{(\bar{X}-\bar{Y})^{2}}{2}$
    (C) $(\bar{X}-\bar{Y})^{2}$
    (D) $\frac{\sum_{i=1}^{n}\left[\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}\right]}{2 n-2}$

二、(22 分) 已知样本空间 $\Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\}, \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{1}\right\}\right)=\frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{2}\right\}\right)=\frac{2}{3}$. 随机变量 $\xi\left(\omega_{1}\right)=0, \xi\left(\omega_{2}\right)=$ 1; 随机变量 $\eta\left(\omega_{1}\right)=2, \eta\left(\omega_{2}\right)=1$.
(1) (6 分) 写出 $(\xi, \eta)$ 联合分布律.
(2) (6 分) 求随机变量 $\xi, \eta$ 相关系数.
(3) (4 分) 写出随机变量 $\xi$ 和 $\eta$ 的关系.
(4) (6 分) 求 $\xi-\eta$ 和 $\xi \cdot \eta$ 的概率分布.

三、（26 分）设总体 $X$ 密度函数为 $f(x ; \theta)=e^{-(x-\theta)}, x \geq \theta$, 其中 $\theta \in(-\infty,+\infty)$ 为末知参数. $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 为取自该总体的简单随机样本.
(1) (6 分) 求 $\theta$ 的矩法估计量 $\hat{\theta}_{1}$.
(2) (10 分) 求 $\theta$ 的最大似然法估计量 $\hat{\theta}_{2}$; 并求该总体分布的中位数的最大似然估计量.
(3) (10 分) 基于 $\hat{\theta}_{2}$ 的分布, 构造 $\theta$ 的一个置信水平为 $95 \%$ 的置信区间.

四、(18 分) 设 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 为伯努利分布Bernoulli $(p)$ 的简单随机样本, $\mathrm{P}\left(X_{i}=1\right)=p, \mathrm{P}\left(X_{i}=0\right)=$ $1-p$
(1) (8 分) 求 $p$ 的 Fisher 信息 $\mathrm{I}(p)$.
(2) (10 分) 证明: $\frac{n}{n-1} \bar{X}(1-\bar{X})$ 是 $p(1-p)$ 最优无偏估计量.

五、(24 分) 设 $X_{1}, \ldots, X_{5}$ 为来自正态分布 $N(0, \theta)$ 的简单随机样本, $Y_{1}, \ldots, Y_{5}$ 为来自正态分布 $N(1, \theta)$ 的简单随机样本. $\theta>0$ 为末知参数. 令 $T=\sum_{i=1}^{5}\left[X_{i}^{2}+\left(Y_{i}-1\right)^{2}\right]$.
(1) (8分) 证明: $T$ 是 $\theta$ 的充分统计量。
(2) (10分) 给定显著性水平 $\alpha=0.05$, 针对假设 $\mathrm{H}_{0}: \theta=1, \mathrm{H}_{1}: \theta \neq 1$ 构建似然比检验。(注: 拒绝域的界值用分布的分位数表示即可)
(3) (6分) 写出上述检验的势 (功效) 函数 (power function).