北大叉院-849统计学-2019年

一、(10分) 设 A1,…,AnA_{1}, \ldots, A_{n} 是相互独立的随机事件且 P(Ai)=12,i=1,…,n,P\left(A_{i}\right)=\frac{1}{2}, i=1, \ldots, n, 求 P(⋂iAi)P\left(\bigcap_{i} A_{i}\right) 与 P(⋃iAi)P\left(\bigcup_{i} A_{i}\right).

二、(10分) 设 X,YX, Y 独立同服从标准正态分布，求 Z=3X−4YZ=3 X-4 Y 的密度函数.


三、(15分) 总体 X∼N(2μ,1),X \sim N(2 \mu, 1), 有 nn 个随机样本，求 μ\mu 的置信度为 1−α1-\alpha 的置信区间.


四、(10分) 甲袋中 2 白球 1 黑球、乙袋中 1 白球 2 黑球，先从甲带中拿出一球放入乙袋，再从乙袋 中取出一球，求从乙袋中取出黑球的概率.


五、(15分) X1∼N(μ1,σ12),X2∣X1=x1∼N(μ2+σ22σ1(x1−μ1),34σ22),X_{1} \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), X_{2} \mid X_{1}=x_{1} \sim N\left(\mu_{2}+\frac{\sigma_{2}}{2 \sigma_{1}}\left(x_{1}-\mu_{1}\right), \frac{3}{4} \sigma_{2}^{2}\right), 求 (X1,X2)\left(X_{1}, X_{2}\right) 的联合分布以及 X2X_{2} 的边缘分布.


六、(15分) 袋中有红、黄、蓝球各 2 个, 从中不放回地取出 3 个, 求

(1)(7分) 各颜色各一个的概率;

(2)(8分) 恰有两种颜色的概率.

七、(15分) 百货公司举行抽奖活动,参与者可以一直抽奖直到中奖,每次抽取相互独立,一次抽中 的概率为 pp ,求

(1)(7分) 抽中奖品所需次数的概率分布: 抽中奖品所需次数的期望;

(2)(8分) 最小整数 kk ,使得 kk 次以内抽中的概率大于 1−α.1-\alpha .


八、(20分) 有来自期望为 1λ\frac{1}{\lambda} 的指数分布总体 X∼Exp⁡(λ)X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) 的 nn 个随机样本, 求 H0:λ≤λ0H_{0}: \lambda \leq \lambda_{0} (备择假设是补集）的拒绝域.


九、(20分) R2∼Exp⁡(12),θ∼U(0,2π)R^{2} \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{2}\right), \theta \sim U(0,2 \pi) 相互独立, 求 (X,Y)=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ)(X, Y)=(R \cos \theta, R \sin \theta) 的联合分布与边缘分布.


十、(20分) 有来自总体 f(x)=2θ2x3I[x≥θ]f(x)=\frac{2 \theta^{2}}{x^{3}} I[x \geq \theta] 的 nn 个随机样本,求 θ\theta 的矩估计与最大似然估计.