复旦大学861-861概率论与数理统计-2019年

一 (20 分) 已知甲、乙两厂生产一等品概率分别为 p1,p2p_{1}, p_{2}. 某商店有 10 件商品, 其中 3 件来自甲厂, 7 件来自乙厂. 试求以下事件的概率

(1) 在该商店中抽取一件商品, 抽中的是一等品;

(2) 已知在该商店抽取一件商品为一等品, 该产品是来自甲厂的.


二 (20 分) 随机变量 X,YX, Y 相互独立, 均服从 (0,1)(0,1) 上的均匀分布, 解决以下问题

(1) 试求 P(X<Y)P(X<Y);

(2) 求 Z=X−YZ=X-Y 的分布.


三、(30 分) 将 kk 个不同的球随机放人 nn 个盒子中 (k≥n)(k \geq n), 用 XX 表示空盒的个 数, 试求 EXE X 与 DXD X.


四、 (40 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自均匀分布 U(θ1,θ2)U\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right) 的简单随机样本, 尝试解决以下问题

(1) 求 θ1,θ2\theta_{1}, \theta_{2} 的极大似然估计;

(2) (1) 中求出的估计是无偏的吗? 如果不是, 尝试将其修正为无偏估计;

(3) (2) 中得到的修正无偏估计是否是 UMVUE? 说明理由;

(4) 求位置与尺度参数 (θ1+θ22,θ2−θ1)\left(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}, \theta_{2}-\theta_{1}\right) 的 UMVUE.


五、 (20 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, μ\mu 与 σ2\sigma^{2} 均未知, 若想对 μ+kσ\mu+k \sigma 进行区间估计 (这里 kk 是一个常数), 能否用

xˉ−(μ+kσ)∑i=1n(xi−xˉ)2\frac{\bar{x}-(\mu+k \sigma)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}}

作为枢轴量? 请说明理由, 并求 μ+kσ\mu+k \sigma 的 1−α1-\alpha 置信水平的置信区间.


六、 (20 分) X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自均匀分布总体 U(0,θ)U(0, \theta) 的随机样本, 考虑如下的 假设检验问题

H0:θ≤12 vs H1:θ>12H_{0}: \theta \leq \frac{1}{2} \quad \text { vs } \quad H_1: \theta>\frac{1}{2}

现给出一个拒绝域为 W={x(n)>c}W=\left\{x_{(n)}>c\right\}, 其中 cc 是一个常数, 解决下述问题

(1) 求该检验的功效函数 ρW(θ)\rho_{W}(\theta);

(2) 证明 ρW(θ)\rho_{W}(\theta) 是关于 θ\theta 的不减函数.