北京大学-431金融学综合-2019年-解析

北京大学-431金融学综合-2019年

2019统计部分解析

一、(10分) 给定两个随机变量 $X$ 和 $Y$, 它们的方差均存在且不为0, 请回答下列问题:

（1）（5 分）若 $Y$ 是 $X$ 的线性函数，它们的相关系数一定是1 吗？请具体论述。

（2）（5 分）若 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为1，它们一定是线性函数关系吗？请具体论述。

Solution:

(1) 不一定, 也有可能是 -1. 根据题意, 不妨设 $Y = aX + b$, 其中 $a \ne 0$. 记 $Var(X) = \sigma^2$, 则容易计算: $Var\left( Y \right) =Var\left( aX+b \right) =a^2\sigma ^2$, 以及 $Cov\left( X,Y \right) =Cov\left( X,aX+b \right) =aVar\left( X \right) =a\sigma ^2$. 因此

$$Corr\left( X,Y \right) =\frac{Cov\left( X,Y \right)}{\sqrt{Var\left( X \right) Var\left( Y \right)}}=\frac{a\sigma ^2}{\left| a \right|\sigma ^2} =\begin{cases} 1,& a>0\\ -1,& a<0\\ \end{cases}.$$

(2) 不一定. 例如 $X \sim N(0,1)$, 令 $Y=\begin{cases} X,& X\ne 1\\ 0,& X=1\\ \end{cases}$, 则虽然 $Corr\left( X,Y \right) =1$, 但 $Y$ 显然不是 $X$ 的线性函数.

此外, 如果结论改为“ $Y$ 与 $X$ 几乎处处是线性关系”, 则命题正确.

二.（30 分）考虑线性回归模型 $y_i=a x_i + b x_i^2+\varepsilon_i$，其中 $a$, $b$ 为未知回归参数, 随机误差项 $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$ ($\sigma^2 >0$ 但未知) 间相互独立. 现收集到 $(x_i, y_i)$, $i = 1,2,\cdots, n$,

（1）（10 分）推导出 $a$ 和 $b$ 的极大似然估计量的表达式。

（2）（10 分）推导上述估计量的期望，方差和分布。

（3）（10 分）请描述如何基于观测数据判断回归模型中的二次项是否可以移除?

Solution:

(1) 似然函数是

$$\mathcal{L} \left( a,b,\sigma ^2;\left\{ \left( x_i,y_i \right) \right\} \right) =\left( 2\pi \sigma ^2 \right) ^{-\frac{n}{2}}\exp \left\{ -\frac{1}{2\sigma ^2}\sum_{i=1}^n{\left( y-ax_i-bx_{i}^{2} \right) ^2} \right\} ,$$

将对数似然函数求导并置0, 有

$$\begin{cases} \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial a}=\frac{1}{\sigma ^2}\sum_{i=1}^n{x_i\left( y-ax_i-bx_{i}^{2} \right)}=0\\ \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial b}=\frac{1}{\sigma ^2}\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}\left( y-ax_i-bx_{i}^{2} \right)}=0\\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sum_{i=1}^n{x_iy_i}=a\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) +b\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right)\\ \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}y_i}=a\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) +b\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right)\\ \end{cases}$$

根据Cramer法则, 该线性方程组的解是

$$\begin{aligned} \hat{a}&=\frac{\left| \begin{matrix} \sum_{i=1}^n{x_iy_i}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}}\\ \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}y_i}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}}\\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}}\\ \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}}\\ \end{matrix} \right|}=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_iy_i} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}y_i} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \\ \hat{b}&=\frac{\left| \begin{matrix} \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}& \sum_{i=1}^n{x_iy_i}\\ \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}y_i}\\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}}\\ \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}}& \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}}\\ \end{matrix} \right|}=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}y_i} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_iy_i} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \end{aligned}$$

(2) 考虑到 $\hat{a}$ 与 $\hat{b}$ 都是 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的线性函数, 且 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 具有联合正态分布, 因此估计量也是正态分布, 故只需求其期望与方差.

$$\begin{aligned} E\left( \hat{a} \right) &=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_iE\left( y_i \right)} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}E\left( y_i \right)} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \\ &=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_i\left\{ ax_i+bx_{i}^{2} \right\}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}\left\{ ax_i+bx_{i}^{2} \right\}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \\ &=\frac{a\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) +b\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -a\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2-b\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2}=a, \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Var\left( \hat{a} \right) &=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) ^2\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}Var\left( y_i \right)}-\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2\sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}Var\left( y_i \right)}}{\left[ \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2 \right] ^2} \\ &=\frac{\sigma ^2\left\{ \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) \right\}}{\left[ \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2 \right] ^2}=\frac{\sigma ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2}, \end{aligned}$$

故有 $\hat{a}\sim N\left( a,\frac{\sigma ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \right)$.

$$\begin{aligned} E\left( \hat{b} \right) &=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}E\left( y_i \right)} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_iE\left( y_i \right)} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \\ &=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}\left\{ ax_i+bx_{i}^{2} \right\}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_i\left\{ ax_i+bx_{i}^{2} \right\}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \\ &=\frac{a\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) +b\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) -a\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) -b\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2}=b, \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Var\left( \hat{b} \right) &=\frac{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}Var\left( y_i \right)} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_iVar\left( y_i \right)} \right)}{\left[ \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2 \right] ^2} \\ &=\frac{\sigma ^2\left\{ \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \right\}}{\left[ \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2 \right] ^2}=\frac{\sigma ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2}, \end{aligned}$$

因此有 $\hat{b}\sim N\left( b,\frac{\sigma ^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2} \right)$.

(3) 只需检验二次项系数 $b$ 是否为 0, 考虑假设检验问题: $H_0:b=0 vs\,\,H_1:b\ne 0$. 当 $H_0$ 成立时, 检验统计量是 $T=\frac{\hat{b}}{se\left( \hat{b} \right)}\sim t\left( n-2 \right)$, 这里 $se\left( \hat{b} \right) =\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right)}{\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}} \right) \left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{4}} \right) -\left( \sum_{i=1}^n{x_{i}^{3}} \right) ^2}}$, 其中

$$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{a}x_i-\hat{b}x_{i}^{2} \right) ^2}.$$

因此对于 $\alpha$ 的显著性水平, 当 $\left| T \right|\ge t_{1-\frac{\alpha}{2}}\left( n-2 \right)$ 时拒绝原假设, 此时认为二次项不可移除, 否则认为可以移除.

三.（25 分）一家老字号连锁店为了吸引顾客，正在考虑向其全体信用卡顾客开展一项关于邮寄折扣赠券的促销。如果收到赠券的人当中有超过10%的人使用赠送，则认为这项促销取得了成功。在向全国进行促销之前，先将赠券分发给100名信用卡顾客组成的一个样本。结果样本中有13 个人使用了赠券。

（1）（5 分）结合本案例，请定义什么是总体，什么是样本。

（2）（5 分）请构造总体赠券使用率的90%的置信区间，并给出解释。

（3）（15 分）请提出原假设和备择假设。并使用0.05 的显著性水平进行检验，该老字号连锁店应该在全国开展此促销吗？

Solution:

（1）在本案例中，总体是指该老字号连锁店的全体信用卡顾客，样本是指从总体中抽出的100名信用卡顾客。

（2）根据中心极限定理, $\sqrt{n}\left( \hat{p}-p \right) \rightarrow _dN\left( 0,p\left( 1-p \right) \right)$, 再根据slutsky定理, 有 $\frac{\sqrt{n}\left( \hat{p}-p \right)}{\sqrt{p\left( 1-p \right)}}\rightarrow _dN\left( 0,1 \right)$.

因此利用正态近似, 总体赠券使用率的90%的置信区间可以用以下公式计算：

$$\hat{p} \pm z_{1 - \alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

其中，$\hat{p}$是样本赠券使用率，$n$是样本容量。在本案例中，$\hat{p}=13/100=0.13$，$z_{1 - \alpha/2}=z_{0.9}=1.645$，$n=100$。代入公式得：

$$0.13 \pm 1.645\sqrt{\frac{0.13(1-0.13)}{100}}$$

简化得：$0.13 \pm 0.055$, 即 $[0.075, 0.185]$.

（3）原假设和备择假设分别是：

$$H_0: p \leq 0.1$$

$$H_1: p > 0.1$$

其中，$p$是总体赠券使用率。为了使用0.05 的显著性水平进行检验，需要计算检验统计量：

$$Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

其中，$p_0$是原假设下的总体赠券使用率。在本案例中，$\hat{p}=0.13$，$p_0=0.1$，$n=100$。代入公式得：

$$Z=\frac{0.13-0.1}{\sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{100}}} = 1$$

简化得：

$$Z=1.897$$

临界值 $z_{ 1 - \alpha}=z_{0.95}=1.645$, 由于 $Z < z_{1 - \alpha}$, 因此接受原假设。也就是说，在显著性水平为0.05 的情况下，没有有足够的证据表明总体赠券使用率大于10%。所以该老字号连锁店不应该在全国开展此促销。

四、(10分) 某公司要了解职工对现行奖励制度是否满意，共调查了210 个员工，按性别整理如下表：

	满意	不满意	合计
男	30	70	100
女	45	65	110
合计	75	135	210

在显著性0.05 的水平下，分析男职工和女职工对奖励制度看法是否有显著差异?

Solution:

该问题可以用卡方检验来分析。卡方检验是一种非参数检验，用于检验分类变量之间是否有关联性。在本题中，分类变量是性别和对奖励制度的看法。

为了进行卡方检验，需要先计算观察频数和期望频数的差异。观察频数就是表格中给出的数据，期望频数就是假设两个变量没有关联时的数据。期望频数可以用以下公式计算：

$$E_{ij}=\frac{R_iC_j}{N}$$

其中，$E_{ij}$是第$i$行第$j$列的期望频数，$R_i$是第$i$行的合计，$C_j$是第$j$列的合计，$N$是总样本数。在本题中，期望频数如下表：

	满意	不满意	合计
男	35.71	64.29	100
女	39.29	70.71	110
合计	75	135	210

然后计算卡方统计量：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

其中，$\chi^2$是卡方统计量，$r$是行数，$c$是列数，$O_{ij}$是第$i$行第$j$列的观察频数。在本题中，卡方统计量为：

$$\chi^2=\frac{\left( 30-35.71 \right) ^2}{35.71}+\frac{\left( 70-64.29 \right) ^2}{64.29}+\frac{\left( 45-39.29 \right) ^2}{39.29}+\frac{\left( 65-70.71 \right) ^2}{70.71}=2.711$$

临界值 $\chi^2_{1 - \alpha}((r-1)(c-1)) = \chi^2_{0.95}(1)=3.841$. 由于 $\chi^2 < \chi^2_{0.95}(1)$, 因此不能拒绝原假设，也就是说，在显著性水平为0.05 的情况下，没有足够的证据表明男职工和女职工对奖励制度看法有显著差异。

2019微观部分解析

一、 （4 分）甜品店自制中秋节月饼，月饼有两种：五仁月饼（$x_1$）和鲜肉月饼（$x_2$）。她观察到消费者对两种盒装的月饼支付意愿相等：一种是 4 个五仁月饼加 2 个鲜肉月饼；另一种是 2 个五仁月饼加 4 个鲜肉月饼。假设消费者的效用函数为 $x_1^{\alpha} x_2^{1-\alpha}$，其中 $0 < \alpha < 1$。请问如果改变营销策略，只卖一种种类的月饼：5 个五仁月饼一盒，加送 1 个鲜肉月饼；或者 5 个鲜肉月饼一盒，加送 1 个五仁月饼，消费者对新营销策略中一盒 5 个月饼的支付意愿是否会提高？

Solution：

根据题意，消费者对两种盒装的月饼支付意愿相等，说明 $(4, 2) \sim (2, 4)$，并且 $\alpha = 0.5$。
原营销策略的效用计算为

$$U_0 = 4^{\alpha} \cdot 2^{1-\alpha} = 2 \sqrt{2}$$

新营销策略中： 若选择 $x_1 = 5$ 和 $x_2 = 1$，则

$$U_1 = 5^{\alpha} \cdot 1^{1-\alpha} = \sqrt{5}$$

若选择 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 5$，则

$$U_1 = 1^{\alpha} \cdot 5^{1-\alpha} = \sqrt{5}$$

由于 $\sqrt{5} < 2 \sqrt{2}$，因此新营销策略下的效用降低，消费者的支付意愿不会提高。

二、（16 分）假设一个人生活在没有集体供暖的地区，他为冬季内取暖所愿付出的最高价格为 $W$ 元。他可以购买毛毯（$x_1$）御寒，也可以烧煤（$x_2$）取暖。他从毛毯和烧煤中获得的热量为 $x_1$、$x_2$，毛毯价格为 $p_1$ 元/条，取暖煤价格为 $p_2$ 元/吨。因治理环境，政府杜绝煤炭使用，天然气（$x_3$）对环境污染比煤炭小，燃烧效率高，但价格 $p_3$ 比较高。用天然气和毛毯取暖获得的热量为 $x_1 x_3^2$。

1. （8 分）政府决定补贴天然气的价格，每吨补贴 $t$ 元，使得补贴之后，这个人可以保持原来的取暖预算并获得同样的取暖效果，求补贴额 $t$ 应该为多少元/吨？

2. （8 分）如政府考虑不单独补贴天然气，而是发给这个人一笔额外的取暖补贴 $T$，可自行选择买毛毯或买天然气或两个都买，都保持同样的取暖效果，取暖补贴 $T$ 应为多少？

Solution：

(1) 煤改气之前，消费者的最优选择是 $x_1 = \frac{W}{2p_1}$，$x_2 = \frac{W}{2p_2}$，获得效用为

$$u_0 = \frac{W^2}{4p_1 p_2}$$

补贴天然气后，消费者的决策问题是：

$$\max \ u_1 = x_1 x_3^2\\ \text{s.t.} \quad p_1 x_1 + (p_3 - t)x_3 = W$$

解得，

$$x_1 = \frac{W}{3p_1}, \quad x_3 = \frac{2W}{3(p_3 - t)}$$

消费者效用为

$$u_1 = \frac{4W^3}{27 p_1 (p_3 - t)^2} = u_0 = \frac{W^2}{4p_1 p_2} \Rightarrow t = p_3 - \sqrt{\frac{16Wp_2}{27}}.$$

(2) 给予额外补贴 $T$ 后，消费者决策问题是：

$$\max u_2 = x_1 x_3^2$$

$$\text{s.t.} \quad p_1 x_1 + p_3 x_3 = W + T$$

解得

$$x_1 = \frac{W+T}{3p_1}, \quad x_3 = \frac{2(W + T)}{3p_3}$$

消费者效用为

$$u_2 = \frac{4(W + T)^3}{27 p_1 p_3^2} = u_0 = \frac{W^2}{4p_1 p_2}$$

由此解得补贴金额 $T$ 为

$$T = \left(\frac{27W^2 p_3^2}{16 p_2 }\right)^{\frac{1}{3}} - W.$$

三、（20 分）某人在当期 $T_0$ 持有一笔现金 $x_0$，考虑投资。每一期现金对此人当期的效用函数为 $x^{\alpha}$。当前市场无风险利率为 $r$，有一个投资项目，有 $P$ 的概率会在下一期 $T_1$ 带来现金 $x_1 (x_1 > x_0)$ 或者 $1 - P$ 的概率在再下一期 $T_2$ 带来现金 $x_2 (x_2 > x_0)$。已知此人是风险中性，且存在概率 $P$ 使得投资与不投资对此人无差异。

1. （10 分）求 $P$

2. （10 分）假设有第二个人，每一期现金对第二个人的效用函数为 $x^2$，他与第一个人中的人一样面对同样的投资机会与市场无风险利率。如此时的 $P$ 刚好是你上问求出的值，则第二个人是否会选择投资此项目呢？请解释。

Solution：

(1) 由投资者风险中性可知，效用函数为线性，故可以推得 $\alpha = 1$。
不投资时，效用为

$$U_0 = x_0$$

投资时，期望效用为

$$U_1 = P \cdot \frac{x_1}{1 + r} + (1 - P) \cdot \frac{x_2}{(1 + r)^2}$$

令 $U_1 = U_0$，解得

$$P = \frac{(1 + r)^2 x_0 - x_2}{(1 + r) x_1 - x_2}$$

(2) 由于 $u(x) = x^2$，$u'(x) = 2x > 0$，$u''(x) = 2 > 0$，故消费者为风险喜好者。
不投资时，效用为

$$U_0 = x_0^2$$

投资时，期望效用为

$$U_1 = P \cdot \left( \frac{x_1}{1 + r} \right)^2 + (1 - P) \cdot \left( \frac{x_2}{(1 + r)^2} \right)^2$$

因为风险喜好者的期望效用 $U_1 > U_0$，故此人会选择投资。

四、 （15 分）现假设有 A 和 B 两座城市劳动人口均为 $L$，其产出分别为 $y_a = aLh_a$ 和 $y_b = bLh_b$，其中 $y_a$ 为 A 城市产出，$a$ 为 A 城市的技术效率，$h_a$ 为 A 城市劳动力的人均教育水平。B 城市的变量含义依此类推。每座城市的政府可以通过投入来改变教育水平，A 城市把 $L$ 名劳动力教育到 $h_a$ 水平的总成本为 $cL(h_a)^2$，其中 $c$ 为成本参数，B 城市的相应成本为 $cL(h_b)^2$。

1. （5 分）A 城市的政府选择教育水平 $h_a$ 最大化当地的净产出 $aLh_a - cL(h_a)^2$，B 城市的政府选择教育水平 $h_b$ 来最大化当地的净产出 $bLh_b - cL(h_b)^2$，求两座城市的最优教育水平。

2. （5 分）假设因为 A 城市的技术效率高于 B 城市，即 $a > b$，因此有 $m$ 名 B 城市的劳工在受过教育后移到 A 城市。注意其教育程度 $h_b$ 在迁移后不变，假设 B 城市在决定教育投入时预计了这一迁移行为，但无法向迁移的劳工收回教育成本。迁移后两地的产出分别为 $a(Lh_a + mh_b)$ 和 $b(Lh_b - mh_b)$，求两地的最优教育水平。和（1）相比，允许迁移后的最优教育水平有何变化？

3. （5 分）假设中央政府介入教育，承担了教育成本，通过选择 $h_a$ 和 $h_b$ 来最大化两地的总净产出 $a(Lh_a + mh_b) + b(Lh_b - mh_b) - cL(h_a)^2 - cL(h_b)^2$，求两地的最优教育水平。和（1）相比，此种情况下的最优教育水平有何变化？

Solution：

(1) 最大化单个城市的净产出：

$$\max \ aLh_a - cL(h_a)^2$$

一阶条件（F.O.C.）为：

$$aL - 2cLh_a = 0$$

解得

$$h_a^* = \frac{a}{2c}$$

同理，最大化 B 城市的净产出：

$$\max \ bLh_b - cL(h_b)^2$$

一阶条件为：

$$bL - 2cLh_b = 0$$

解得

$$h_b^* = \frac{b}{2c}$$

(2) 最大化单个城市的净产出：

$$\max \ a(Lh_a + mh_b) - cL(h_a)^2$$

一阶条件为：

$$aL - 2cLh_a = 0$$

解得

$$h_a^* = \frac{a}{2c}$$

教育水平不变。

对 B 城市，最大化净产出：

$$\max \ b(L - m)h_b - cL(h_b)^2$$

一阶条件为：

$$b(L - m) - 2cLh_b = 0$$

解得

$$h_b^* = \frac{b(L - m)}{2cL} < \frac{b}{2c}$$

教育水平下降。

(3) 最大化两地总净产出问题为：

$$\max \ a(Lh_a + mh_b) + b(Lh_b - mh_b) - cL(h_a)^2 - cL(h_b)^2$$

对 $h_a$ 的一阶条件为：

$$aL - 2cLh_a = 0$$

解得

$$h_a^* = \frac{a}{2c}$$

对 $h_b$ 的一阶条件为：

$$b(L - m) - 2cLh_b = 0$$

解得

$$h_b^* = \frac{bL + (a - b)m}{2cL} > \frac{b}{2c}$$

此时 A 城市教育水平不变，但 B 城市教育水平上升。

五、（20 分）村里有 $2N$ 个居民，其中 $N$ 个居民住在一区，每人养 $q_1$ 只羊，每只羊成本为 $c_1$；$N$ 个居民住在二区，每人养 $q_2$ 只羊，每只羊成本为 $c_2$。每只羊带来的收入是 $200 - q$，$q$ 是村里羊的总数。

1. （10 分）找到博弈的纳什均衡下两个区域里每个居民养羊的数量，找出社会效益最优选择下村子里羊的总量。

2. （5 分）当地政府为了达到社会效益的最优选择，对两个地区按统一标准征税，每只羊征收 $t$。计算税收标准 $t$，以及对应的纳什均衡下两个区域里每个居民的养羊数量。

3. （5 分）如果当地政府只对第一区域的居民征税，每只羊征税 $t$，以达到社会效益的最优。请计算税收标准 $t$，以及对应的纳什均衡下两个区域里每个居民的养羊数量。

Solution：

(1) 对第一区的每个居民而言有利润最大化问题：

$$\max \ \pi_1 = \left[ 200 - (Nq_1 + Nq_2) \right] q_1 - c_1 q_1$$

一阶条件（F.O.C.）为：

$$200 - Nq_2 - 2Nq_1 - c_1 = 0$$

对于第二区的每个居民，利润最大化问题为：

$$\max \ \pi_2 = \left[ 200 - (Nq_1 + Nq_2) \right] q_2 - c_2 q_2$$

一阶条件为：

$$200 - Nq_1 - 2Nq_2 - c_2 = 0$$

联立两个一阶条件，求得：

$$q_1 = \frac{200 - 2c_1 - c_2}{3N}, \quad q_2 = \frac{200 - c_1 - 2c_2}{3N}$$

社会最优时，最大化全村的总利润：

$$\max \ \pi = \left[ 200 - N(q_1 + q_2) \right] (q_1 + q_2) - N(c_1 q_1 + c_2 q_2)$$

一阶条件为：

$$200N - 2N^2(q_1 + q_2) - Nc_1 \leq 0$$

$$200N - 2N^2(q_1 + q_2) - Nc_2 \leq 0$$

解得，羊的总量为：

$$N(q_1 + q_2) = \frac{200 - \min \{c_1, c_2\}}{2}$$

(2) 对两个地区分别征税，税率为 $t$：

对第一区居民：

$$\max \ \pi_1 = \left[ 200 - Nq_1 - Nq_2 \right] q_1 - (t + c_1) q_1$$

一阶条件为：

$$200 - 2Nq_1 - Nq_2 - t - c_1 = 0$$

对第二区居民：

$$\max \ \pi_2 = \left[ 200 - Nq_1 - Nq_2 \right] q_2 - (t + c_2) q_2$$

一阶条件为：

$$200 - Nq_1 - 2Nq_2 - t - c_2 = 0$$

实际上只需要代入第一问结果，将价格加一个t即可。
令：

$$q_1+q_2=\frac{200 - \min \{c_1, c_2\}}{2}$$

求得：

$$q_1 = \frac{200 - 2c_1 - 2c_2 - \min\{c_1, c_2\}}{4N}, \quad q_2 = \frac{200 - 2c_1 - 2c_2 - \min\{c_1, c_2\}}{4N}$$

税收标准为：

$$t = \frac{200 - 2c_1 - 2c_2 + 3 \min\{c_1, c_2\}}{4}$$

注：此题需要注意审题，题干所说的社会效益最优选择实际上欠妥，目标仅仅是令两区居民养羊总数达到第一问的最优总数。如果考虑政府税收与居民收益总和最大，应也会酌情给分。

(3) 如果只对第一区征税，则：

$$t = 100 - c_1 - c_2 + 1.5 \min\{c_1, c_2\}$$

总结各区域居民的均衡下的养羊数量为：

$$q_1 = \frac{c_2 - \min\{c_1, c_2\}}{N}, \quad q_2 = \frac{100 - c_2 + 0.5 \min\{c_1, c_2\}}{N}$$