北京大学-431金融学综合-2019年

2019统计部分真题

一、(10分) 给定两个随机变量 $X$ 和 $Y$ , 它们的方差均存在且不为0, 请回答下列问题:

（1）（5 分）若 $Y$ 是 $X$ 的线性函数，它们的相关系数一定是1 吗？请具体论述。

（2）（5 分）若 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为1，它们一定是线性函数关系吗？请具体论述。

二.（30 分）考虑线性回归模型 $y_i=a x_i + b x_i^2+\varepsilon_i$ ，其中 $a$ , $b$ 为未知回归参数, 随机误差项 $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$ ( $\sigma^2 >0$ 但未知) 间相互独立. 现收集到 $(x_i, y_i)$ , $i = 1,2,\cdots, n$ ,

（1）（10 分）推导出 $a$ 和 $b$ 的极大似然估计量的表达式。

（2）（10 分）推导上述估计量的期望，方差和分布。

（3）（10 分）请描述如何基于观测数据判断回归模型中的二次项是否可以移除?

三.（25 分）一家老字号连锁店为了吸引顾客，正在考虑向其全体信用卡顾客开展一项关于邮寄折扣赠券的促销。如果收到赠券的人当中有超过10%的人使用赠送，则认为这项促销取得了成功。在向全国进行促销之前，先将赠券分发给100名信用卡顾客组成的一个样本。结果样本中有13 个人使用了赠券。

（1）（5 分）结合本案例，请定义什么是总体，什么是样本。

（2）（5 分）请构造总体赠券使用率的90%的置信区间，并给出解释。

（3）（15 分）请提出原假设和备择假设。并使用0.05 的显著性水平进行检验，该老字号连锁店应该在全国开展此促销吗？

四、(10分) 某公司要了解职工对现行奖励制度是否满意，共调查了210 个员工，按性别整理如下表：

	满意	不满意	合计
男	30	70	100
女	45	65	110
合计	75	135	210

在显著性0.05 的水平下，分析男职工和女职工对奖励制度看法是否有显著差异?

2019微观部分真题

一、（4 分）甜品店自制中秋节月饼，月饼有两种：五仁月饼（ $x_1$ ）和鲜肉月饼（ $x_2$ ）。她观察到消费者对两种盒装的月饼支付意愿相等：一种是 4 个五仁月饼加 2 个鲜肉月饼；另一种是 2 个五仁月饼加 4 个鲜肉月饼。假设消费者的效用函数为 $x_1^{\alpha} x_2^{1-\alpha}$ ，其中 $0 < \alpha < 1$ 。请问如果改变营销策略，只卖一种种类的月饼：5 个五仁月饼一盒，加送 1 个鲜肉月饼；或者 5 个鲜肉月饼一盒，加送 1 个五仁月饼，消费者对新营销策略中一盒 5 个月饼的支付意愿是否会提高？

二、（16 分）假设一个人生活在没有集体供暖的地区，他为冬季内取暖所愿付出的最高价格为 $W$ 元。他可以购买毛毯（ $x_1$ ）御寒，也可以烧煤（ $x_2$ ）取暖。他从毛毯和烧煤中获得的热量为 $x_1$ 、 $x_2$ ，毛毯价格为 $p_1$ 元/条，取暖煤价格为 $p_2$ 元/吨。因治理环境，政府杜绝煤炭使用，天然气（ $x_3$ ）对环境污染比煤炭小，燃烧效率高，但价格 $p_3$ 比较高。用天然气和毛毯取暖获得的热量为 $x_1 x_3^2$ 。

（8 分）政府决定补贴天然气的价格，每吨补贴 $t$ 元，使得补贴之后，这个人可以保持原来的取暖预算并获得同样的取暖效果，求补贴额 $t$ 应该为多少元/吨？
（8 分）如政府考虑不单独补贴天然气，而是发给这个人一笔额外的取暖补贴 $T$ ，可自行选择买毛毯或买天然气或两个都买，都保持同样的取暖效果，取暖补贴 $T$ 应为多少？

三、（20 分）某人在当期 $T_0$ 持有一笔现金 $x_0$ ，考虑投资。每一期现金对此人当期的效用函数为 $x^{\alpha}$ 。当前市场无风险利率为 $r$ ，有一个投资项目，有 $P$ 的概率会在下一期 $T_1$ 带来现金 $x_1 (x_1 > x_0)$ 或者 $1 - P$ 的概率在再下一期 $T_2$ 带来现金 $x_2 (x_2 > x_0)$ 。已知此人是风险中性，且存在概率 $P$ 使得投资与不投资对此人无差异。

（10 分）求 $P$
（10 分）假设有第二个人，每一期现金对第二个人的效用函数为 $x^2$ ，他与第一个人中的人一样面对同样的投资机会与市场无风险利率。如此时的 $P$ 刚好是你上问求出的值，则第二个人是否会选择投资此项目呢？请解释。

四、（15 分）现假设有 A 和 B 两座城市劳动人口均为 $L$ ，其产出分别为 $y_a = aLh_a$ 和 $y_b = bLh_b$ ，其中 $y_a$ 为 A 城市产出， $a$ 为 A 城市的技术效率， $h_a$ 为 A 城市劳动力的人均教育水平。B 城市的变量含义依此类推。每座城市的政府可以通过投入来改变教育水平，A 城市把 $L$ 名劳动力教育到 $h_a$ 水平的总成本为 $cL(h_a)^2$ ，其中 $c$ 为成本参数，B 城市的相应成本为 $cL(h_b)^2$ 。

（5 分）A 城市的政府选择教育水平 $h_a$ 最大化当地的净产出 $aLh_a - cL(h_a)^2$ ，B 城市的政府选择教育水平 $h_b$ 来最大化当地的净产出 $bLh_b - cL(h_b)^2$ ，求两座城市的最优教育水平。
（5 分）假设因为 A 城市的技术效率高于 B 城市，即 $a > b$ ，因此有 $m$ 名 B 城市的劳工在受过教育后移到 A 城市。注意其教育程度 $h_b$ 在迁移后不变，假设 B 城市在决定教育投入时预计了这一迁移行为，但无法向迁移的劳工收回教育成本。迁移后两地的产出分别为 $a(Lh_a + mh_b)$ 和 $b(Lh_b - mh_b)$ ，求两地的最优教育水平。和（1）相比，允许迁移后的最优教育水平有何变化？
（5 分）假设中央政府介入教育，承担了教育成本，通过选择 $h_a$ 和 $h_b$ 来最大化两地的总净产出 $a(Lh_a + mh_b) + b(Lh_b - mh_b) - cL(h_a)^2 - cL(h_b)^2$ ，求两地的最优教育水平。和（1）相比，此种情况下的最优教育水平有何变化？

五、（20 分）村里有 $2N$ 个居民，其中 $N$ 个居民住在一区，每人养 $q_1$ 只羊，每只羊成本为 $c_1$ ； $N$ 个居民住在二区，每人养 $q_2$ 只羊，每只羊成本为 $c_2$ 。每只羊带来的收入是 $200 - q$ ， $q$ 是村里羊的总数。

（10 分）找到博弈的纳什均衡下两个区域里每个居民养羊的数量，找出社会效益最优选择下村子里羊的总量。
（5 分）当地政府为了达到社会效益的最优选择，对两个地区按统一标准征税，每只羊征收 $t$ 。计算税收标准 $t$ ，以及对应的纳什均衡下两个区域里每个居民的养羊数量。
（5 分）如果当地政府只对第一区域的居民征税，每只羊征税 $t$ ，以达到社会效益的最优。请计算税收标准 $t$ ，以及对应的纳什均衡下两个区域里每个居民的养羊数量。