北京大学光华-431金融学统计-2019年

一、(10分) 给定两个随机变量 $X$ 和 $Y$, 它们的方差均存在且不为0, 请回答下列问题:

（1）（5 分）若 $Y$ 是 $X$ 的线性函数，它们的相关系数一定是1 吗？请具体论述。

（2）（5 分）若 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为1，它们一定是线性关系吗？请具体论述。

二.（30 分）考虑线性回归模型 $y_i=a x_i + b x_i^2+\varepsilon_i$，其中 $a$, $b$ 为未知回归参数, 随机误差项 $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$ ($\sigma^2 >0$ 但未知) 间相互独立. 现收集到 $(x_i, y_i)$, $i = 1,2,\cdots, n$,
（1）（10 分）推导出 $a$ 和 $b$ 的极大似然估计量的表达式。
（2）（10 分）推导上述估计量的期望，方差和分布。
（3）（10 分）请描述如何基于观测数据判断回归模型中的二次项是否可以移除?

三.（25 分）一家老字号连锁店为了吸引顾客，正在考虑向其全体信用卡顾客开展一项关于邮寄折扣赠券的促销。如果收到赠券的人当中有超过10%的人使用赠送，则认为这项促销取得了成功。在向全国进行促销之前，先将赠券分发给100名信用卡顾客组成的一个样本。结果样本中有13 个人使用了赠券。

（1）（5 分）结合本案例，请定义什么是总体，什么是样本。
（2）（5 分）请构造总体赠券使用率的90%的置信区间，并给出解释。
（3）（15 分）请提出原假设和备择假设。并使用0.05 的显著性水平进行检验，该老字号连锁店应该在全国开展此促销吗？

四、(10分) 某公司要了解职工对现行奖励制度是否满意，共调查了210 个员工，按性别整理如下表：

	满意	不满意	合计
男	30	70	100
女	45	65	110
合计	75	135	210

在显著性0.05 的水平下，分析男职工和女职工对奖励制度看法是否有显著差异?