北京师范大学-432统计学-2018年

一、选择题（每题3分, 共15分）

箱线图最中间的线表明的数据是( ).
A. 平均数
B. 中位数
C. 众数
D. 都不是
技术人员对某生产线上的产品每隔100件抽样一次, 他使用的抽样方法是( ).
A. 简单随机抽样
B. 整群抽样
C. 分层抽样
D. 系统抽样
根据样本已经得到了 $\theta$ 的 $95\%$ 置信区间 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ , 正确的是( ).
A. 该区间以 $95 \%$ 的概率包含真值
B. 参数 $\theta$ 在该区间内的概率为 $95 \%$
C. 该区间有 $95 \%$ 的可能性包含参数 $\theta$
D. 参数 $\theta$ 或者在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内, 或者不在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内
线性回归分析的说法, 正确的是 ( ）
A. 选择解释变量时, 残差平方和越小越好
B. 线性检验是指对变量的线性关系检验
C. 线性回归中, $t$ 检验与 $F$ 检验等价
D. 残差与误差有相同的分布, 可用残差估计误差
如果 $\operatorname{Var}(X)$ 存在, 下面说法错误的是( ).
A. $E X$ 一定存在
B. $E X^2>(E X)^2$ 一定成立
C. 对于 $C \neq E X, \operatorname{Var}(X)<E(X-C)^2$
D. 标准差 $\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ 一定存在

二、问答题

(10分) 为什么总体可以用随机变量表示？
(10分) 某高校教研室老师年龄为 $60,58,46,46,41,43,38,38,34,31$ , 写出这组数据的分析报告.
(15分) 一架主机、两架副机被派遣前往目的地执行轰炸任务, 目标是击毁敌方的“火种源”. 到达目的地的过程中需要主机为两架副机持续提供燃油, 到达目的地后独立执行轰炸任务, 每架飞机击中“火种源”的概率是0.3. 但是在前往目的地的过程中要经过敌区, 在此过程中每架飞机均有0.2的概率被击落. 问: “火种源”被击中的概率是多少?
(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是i.i.d.的 $U(\theta,\theta+1)$ 的随机样本.
(1)(8分) 求矩估计和极大似然估计;
(2)(7分) 比较说明矩估计和极大似然估计及其优缺点.
(15分) 设有 $n$ 个独立工作的元件, 故障率为 0.1, 现在某项任务一定要 $80\%$ 以上原件工作才能完成. 为了以 $95\%$ 的把握保证这一事件的成立, 问 $n$ 至少应为多少?
(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是 i.i.d. 的 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机样本, 其中 $\mu,\sigma^2$ 是未知参数.
(1) (7分) 写出样本方差表达式, 它是总体方差无偏估计吗?
(2) (8分) $\bar{x}^2$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计吗? 若不是, 给出 $\mu^2$ 的一个无偏估计.
(15分) 从 $N(\mu,1)$ 总体抽取 100 个随机样本 $x_1,\cdots,x_{100}$ , 为讨论假设检验问题

H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0

构造拒绝域 $W=\{|\bar{x}|<0.001\}$ .
(1)(8分) 已知 $\Phi(0.01)<0.505$ , 证明犯第一类错误概率 $\alpha <0.01$ ;
(2)(7分) $W$ 是一个合适的拒绝域吗? 为什么?

(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的独立样本.
(1) (7分) 如果 $\mu =90$ , 求 $\sigma^2$ 的MLE;
(2) (8分) 如果 $\sigma^2 =9$ , 求 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间.
(20分) 有下述线性回归的方差分析表

变量	平方和	自由度	Prob( $>F$ )
回归	2144.6	2	0.0001
残差		98
总	8545.6	100

(1)(5分) 样本量和参数分别是几个?
(2)(5分) 补齐方差分析表.
(3)(5分) 给定 $\alpha=0.05$ , 方程是否显著?
(4)(5分) 给出 $R^2$ , 以及误差方差的估计量.