中国科学技术大学-432统计学-2018年

一、(12分) 设 g(x)g(x) 是一个非负随机变量的概率密度函数, 定义

f(x,y)={g(x2+y2)2πx2+y2,x2+y2>00,x=y=0.f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{g\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{2 \pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2}>0 \\ 0, x=y=0 . \end{array}\right.

问 f(x,y)f(x, y) 是否是一个二维随机向量的概率密度函数?


二、(14分) 设 X∼N(0,1),a>0X \sim N(0,1), \quad a>0 为常数. 定义 Y={X,∣x∣≤a,−X,∣x∣>a.Y=\left\{\begin{array}{ll}X & ,|x| \leq a, \\ -X & ,|x|>a .\end{array}\right. 求 YY 的分布.


三、(14分) 一个盒子由 aa 个白球, bb 个黑球和 nn 个红球, a,b,n∈N+.a, b, n \in N_{+} . 现不放回地依次取出一球, 求白球先于黑球被取出的概率，并证明该概率与 nn 无关.


四、(16分) 设 X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自同一总体的简单随机样本, 总体的 概率密度是 f(x)={3x2,0<x<10, 其他 f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x^{2}, 0<x<1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.,
试证明: 对任意 1≤i<j≤n,X(i)/X(j)1 \leq i<j \leq n, X_{(i)} / X_{(j)} 与 X(j)X_{(j)} 相互独立, 并求他们各自的边缘概率密度函数.


五、(16分) 设 X1,X2,⋯ ,Xn∼N(μ,σ2),n>2X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), n>2, 定义

Xˉ=1n∑i=1nXi,T=∑i=1n(Xi−Xˉ)2−nn−1(Xi−Xˉ)2\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, T=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}-\frac{n}{n-1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}

(1) 求 ETE T;

(2) 证明 n(n−2)n−1⋅X1−XˉT∼tn−2\sqrt{\frac{n(n-2)}{n-1}} \cdot \frac{X_{1}-\bar{X}}{\sqrt{T}} \sim t_{n-2}.


六、(24分) 一种型号的电子元件寿命的分布函数是

F(x,α,β)={1−exp⁡{−(x−α)β},x≥α0,x<aF(x, \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{cc} 1-\exp \left\{\frac{-(x-\alpha)}{\beta}\right\}, &x \geq \alpha \\ 0, &x<a \end{array}\right.

α>0,β>0\alpha>0, \beta>0 均为未知参数.现取该型号原件 nn 个进行独立测试, 测得寿命分别为X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}

(1) 分别求 α\alpha 和 β\beta 的矩估计和极大似然估计;

(2) 所求极大似然估计是否为无偏估计? 若不是无偏估计，则请基于该极大似然估计构造出 α\alpha 和 β\beta 的无偏估计.


七、(12分) 设 θ^1\hat{\theta}_{1} 和 θ^2\hat{\theta}_{2} 分别为未知参数 θ\theta 的两个无偏估计, 方差有限且大于 0, 假设 Cov⁡(θ^1,θ^2)<0.\operatorname{Cov}\left(\hat{\theta}_{1}, \hat{\theta}_{2}\right)<0 . 问是否可以基于 θ^1\hat{\theta}_{1} 和 θ^2\hat{\theta}_{2} 构造出一个 θ\theta 的无偏估计 θ^3\hat{\theta}_{3}, 且满足Var⁡(θ^3)<Var⁡(θ^1)?\operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{3}\right)<\operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{1}\right) ?


八、(20分) 某针欠减肥机构称其疗程可使参加者平均减少体重 5 kg5 \mathrm{~kg} 以上，为检验广告是否 可信，随机调查了 10 名参加者，数据 (kg):

 参加前 65.3962.8963.5060.8363.0762.8857.8063.0766.0570.78 参加后 61.7259.4359.6457.3058.5060.8451.8960.0263.6765.67\begin{array}{llllllllllll} \text { 参加前 } & 65.39 & 62.89 & 63.50 & 60.83 & 63.07 & 62.88 & 57.80 & 63.07 & 66.05 & 70.78 \\ \text { 参加后 } & 61.72 & 59.43 & 59.64 & 57.30 & 58.50 & 60.84 & 51.89 & 60.02 & 63.67 & 65.67 \end{array}

假设参加前后体重均服从正态分布.

(1) 在显著性水平为 0.050.05 下检验宣传是否可信;

(2) 给出平均减少体重的 95%的置信区间.


九、(22分)观察三种药物 A、B、C 治疗 200 例心绞痛的疗效，数据:

显著 有效 无效 合计
A 15 37 7 59
B 11 48 13 72
C 16 39 14 69
合计 42 124 34 200

用列联表分析判断这三种药物的疗效有无显著性差异. (( 检验水平 α=0.05\alpha=0.05 )