中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2018年

一、计算题(理由要充分.每小题8分,共88分)

  1. 设 A,BA, B 为两个事件, 满足 P(A∣B)=0.7,P(B∣A)=0.2,P(Bc∣Ac)=0.8,\mathrm{P}(A \mid B)=0.7, \mathrm{P}(B \mid A)=0.2, \mathrm{P}\left(B^{c} \mid A^{c}\right)=0.8, 求P(A∪B)\mathrm{P}(A \cup B).

  1. 设随机变量 XX 与 YY 相互独立, 其中 XX 服从 (0,1) 上的均匀分布, YY 分别以概 率 1/31 / 3 和 2/32 / 3 分别取 1 和 3.3 . 问 X+YX+Y 具有概率密度吗? 若有,请求出该概率 密度函数.

  1. 将 A,B,C\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} 三个字母之一输入信道, 输出原字母的概率为 α,\alpha, 而输出其它任一 字母的概率都是 (1−α)/2.(1-\alpha) / 2 . 现将字母串 AAA 、 BBB 、 CCC 之一输入信道, 输入 AAA,BBB,CCC\mathrm{AAA}, \mathrm{BBB}, \mathrm{CCC} 的概率分别为 0.4,0.3,0.3.0.4,0.3,0.3 . 已知输出为 ABC,\mathrm{ABC}, 问输 入的是 AAA 概率是多少?(假设信道传输每个字母的工作是独立的)

  1. 设 (X,Y)(X, Y) 服从二维正态分布, 其边际分布为 X∼N(4,1),Y∼N(6,99),X \sim N(4,1), Y \sim N(6,99), 求概率 P(X+Y≤10)\mathrm{P}(X+Y \leq 10).

  1. 设 XX 以概率 pp 服从 N(0,1)N(0,1) 分布，以概率 1−p1-p 服从 N(1,1)N(1,1) 分布，求 EX\mathrm{E} X 和 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X).

  1. 设随机变量 XX 和 YY 相互独立且皆服从 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 分布, 试求 Z1=αX+βYZ_{1}=\alpha X+\beta Y 和
    Z2=αX−βYZ_{2}=\alpha X-\beta Y 的相关系数, 其中 α,β\alpha, \beta 为常数.

  1. 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 是一个简单随机样本, EX=μ,Var⁡(X)=σ2,θ^2=c∑i=1n−1(Xi−\mathrm{E} X=\mu, \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}, \widehat{\theta}^{2}=c \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-\right. Xi+1)2\left.X_{i+1}\right)^{2} 为 σ2\sigma^{2} 的无偏估计, 求 c.c .

  1. 设 X1,X2,…,X5X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{5} 是抽自密度为 f(x)=12e−∣x−θ∣,−∞<x<∞,f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x-\theta|},-\infty<x<\infty, 的总体的简单随机样本, X(1)<X(2)<⋯<X(5)X_{(1)}<X_{(2)}<\cdots<X_{(5)} 为次序统计量, 求 θ\theta 的极大似然估计.

  1. 设 X1,X2,…,X10,X11X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{10}, X_{11} 独立同分布, 共同的分布为 N(μ,σ2).N\left(\mu, \sigma^{2}\right) . 记

Xˉ=110∑i=110Xi,S2=110∑i=110(Xi−Xˉ)2,Y=k(Xˉ−X11)S\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_{i}, \quad S^{2}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \quad Y=\frac{k\left(\bar{X}-X_{11}\right)}{S}

求 kk 的值使 YY服从tt分布 (给出详细证明, 并指出tt分布的自由度).


  1. 参数的极大似然估计唯一吗? 若不唯一, 请举例说明.

  1. 设 {Xn,n≥1}\left\{X_{n}, n \geq 1\right\} 为i.i.d.随机变量序列, EX1=a\mathrm{E} X_{1}=a 有限, 求极限

lim⁡n→∞sin⁡(1n∑i=1nXi).\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right).


二、(20分) 设 (X,Y)(X, Y) 服从以 (0,1),(1,0),(1,1) 为顶点的三角形区域上的均匀分布, 求

(1)(6分) XX 的边际概率密度;

(2)(7分) 求 U=X+YU=X+Y 的概率密度;

(3)(7分) 求 UU 的方差.


三、(24分) 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 是从参数 λ\lambda 的 Poisson 分布总体中抽取的一组随机样本, λ\lambda 未知.

(1)(6分) 求 λ\lambda 的充分完备统计量;

(2)(6分) 求 g1(λ)=λ3g_{1}(\lambda)=\lambda^{3} 的最小方差无偏估计;

(3)(6分) 求 g2(λ)=P(X1=2)g_{2}(\lambda)=\mathrm{P}\left(X_{1}=2\right) 的最小方差无偏估计;

(4)(6分) 对显著性水平 α,\alpha, 求检验问题 H0:λ≥1⟷H1:λ<1H_{0}: \lambda \geq 1 \longleftrightarrow H_{1}: \lambda<1 的一致最优检验.


四、(18分) 设学校某次考试考生的成绩服从正态分布, 从中随机抽出 36 位考生的成绩, 算得平均成绩 66.5 分, 标准差为 15.15 . 问在显著水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 给出检验全过程.
附表: tp(n)t_{p}(n) 表示自由度为 nn 的 tt 分布的 pp 分位点.

t0.95(35)=1.6896,t0.975(35)=2.0301t0.95(36)=1.6883,t0.975(36)=2.0281\begin{array}{ll} t_{0.95}(35)=1.6896, & t_{0.975}(35)=2.0301 \\ t_{0.95}(36)=1.6883, & t_{0.975}(36)=2.0281 \end{array}