南开大学-432统计学-2018年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

  1. 若 P(B∣A)=1P(B \mid A)=1, 则( ).

A. A∈BA\in B;

B. B∈AB \in A;

C. A - B = ϕ\phi;

D. P(A−B)=0P\left(A - B\right) = 0.


2.袋子中有5个球, 其中2个黄球, 3个白球, 现有两个人不放回的依次从中取球, 问第二个人取到黄球的概率是( ).

A. 25\frac{2}{5};

B. 15\frac{1}{5};

C. 310\frac{3}{10};

D. 35\frac{3}{5}.


  1. 设 X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} 独立, 且都服从参数为 3 的泊松分布, 令 Y=X1+X2+X3Y=X_{1}+X_{2}+X_{3}, 则E(Y2)=E\left(Y^{2}\right)=( ).

A. 9;

B. 12;

C. 81;

D. 90.


  1. 设 X1,X2⋯X8X_{1}, X_{2} \cdots X_{8} 均为来自总体 N(−1,4)N\left(-1,4\right) 的样本, Y1,Y2⋯Y10Y_{1}, Y_{2} \cdots Y_{10} 为来自总体 N(2,5)\mathrm{N}(2,5)的样本, 则服从 F(7,9)F\left(7,9\right) 的是( ).

A. 2S125S22\frac{2S_{1}^{2}}{5S_{2}^{2}};

B. 5S124S22\frac{5S_{1}^{2}}{4S_{2}^{2}};

C. 4S125S22\frac{4S_{1}^{2}}{5S_{2}^{2}};

D. 5S122S22\frac{5S_{1}^{2}}{2S_{2}^{2}}.


  1. 下列说法正确的是( ).

A. 在一次实验中, 可以同时犯两类错误;

B. 如果备择假设为真, 做出接受原假设, 则犯第一类错误;

C. 增大样本容量nn, 可以使两类错误同时变小;

D. 如果原假设为真, 做出拒绝备择假设, 则犯第二类错误.


  1. 若(1)代表按分布收敛, (2)代表依概率收敛, (3)代表表几乎处处收敛, 则它们之间的关系为( ).

A. (1) > (2) > (3);

B. (2) > (3) > (1);

C. (3) > (2) > (1);

D. (1) > (3) > (2).


  1. 设 XX 服从 N(μ,16),YN(\mu, 16), {Y} 服从 N(μ,9),p1=P{X≥μ+4},N(\mu, 9), p_{1}=P\{X \geq \mu+4\}, p2=P{Y≤μ−3}p_{2}=P\{Y \leq \mu-3\}, 则 p1p_{1}和 p2p_{2} 的大小关系为( ).

A. p1=p2p_1=p_2;

B. p1>p2p_1>p_2;

C. p1<p2p_1<p_2;

D. 不确定.


二、填空题(每题4分, 共32分)

  1. 若 δ\delta 服从 U(1,6)U\left(1,6\right), 则方程 X2+δX+1=0X^{2}+\delta X+1=0 有实根的概率是________.

  1. 若ε\varepsilon 的概率分布为 P{ε=k}=A(12)k,k=1,2,3,4P\{\varepsilon=k\}=A\left(\frac{1}{2}\right)^{k}, k=1,2,3,4, 则 P{12<ε<52}=P\left\{\frac{1}{2}<\varepsilon<\frac{5}{2}\right\}= ________.

  1. 已知 P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47P\{X \geq 0, Y \geq 0\}=\frac{3}{7}, \quad P\{X \geq 0\}=P\{Y \geq 0\}=\frac{4}{7}, 则 P{max⁡(X,Y)≥0}=P\{\max (X, Y) \geq 0\}=________.

  1. 已知 XX服从 N(μ,0.09)N(\mu, 0.09) , 抽取一个 n=9n=9 的样本, Xˉ=5\bar{X}=5, 则 μ\mu 的 0.950.95 置信区间为________.

  1. 已知元件寿命服从参数为 1/1001 / 100 的指数分布, 现在有 5 个元件串联, 问这个电路正常工作 100 个小时以上的概率为________.

  1. 已知 f(x)={14(x+1),0<x<2;0, 其他 .f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}(x+1), & 0<x<2; \\ 0, & \text { 其他 }.\end{array}\right., 对 XX 观察 8 次, YY 表示观察值大于 1 的次数,则 D(Y)=D(Y)=________.

  1. 有来自总体U(a,1)U\left(a,1\right)的简单随机样本X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n}, 则aa 的矩估计为________.

  1. 已知 X1,X2⋯X4X_{1} , X_{2} \cdots X_{4} 为来自总体 N(0,4)N\left(0,4\right) 的样本, Y=(X1+X2)2+(X3−X4)2Y=\left(X_{1}+X_{2}\right)^{2}+\left(X_{3}-X_{4}\right)^{2}, 当c=c=________时, cYcY 服从 χ2(2)\chi^{2}(2).

三、解答题(90分)

1.(10分)设(X,Y)\left(X,Y\right)服从以 (−1,0),(1,0)(-1,0),(1,0) 和 (0,1)(0,1) 为顶点的三角形内的均匀分布, 求 Z=X+YZ=X+Y 的概率密度.


2.(10分)有 nn 张卡片, 上面分别标着 1,2⋯n1, 2 \cdots n, 现随机有放回地抽取 kk 张, 用XX表示这 kk 张卡片的和，求 EXEX 和 DXDX.


3.(10分)已知 f(x)={(a+1)xa,0<x<1;0, 其他 .f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(a+1) x^{a}, & 0<x<1; \\ 0, & \text { 其他 }.\end{array}\right., X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为来自该总体的简单随机样本, 求aa的矩估计和极大似然估计.


4.(10分)有一项考试, 每个人优秀得3分, 合格得2分, 不合格得1分. 且根据以往经验, 优秀,合格,不合格的比例分别为20%,70%,10%. 现有100人参加考试, 用中心极限定理估计总分在180至200之间的概率.


5.(10分)已知总体 X∼N(μ,σ2)X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), 且 X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为简单随机样本, 求 kk 使得 k∑i=1n∣Xi−Xˉ∣k \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\bar{X}\right|为 σ\sigma 的无偏估计。


6.(10分)已知 f(x,y)={axy,0<x,y<1;0, 其他 .f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}axy ,& 0<x, y<1; \\ 0, & \text { 其他 }.\end{array}\right.求 aa, 并证明X,YX, Y 相互独立.


7.(15分)设总体 X∼N(μ1,σ2),Y∼N(μ2,σ2)X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right), 分别有来自于它们的n,mn,m个随机样本, 考虑假设检验问题:

H0:cμ1+dμ2=δvsH1:cμ1+dμ2≠δ.H_{0}: c \mu_{1}+d \mu_{2}=\delta \quad vs \quad H_{1}: c \mu_{1}+d \mu_{2} \neq \delta .

其中c≠0,d≠0c \neq 0, d \neq 0, δ\delta 已知, 但μ1,μ2,σ2\mu_1,\mu_2,\sigma^2未知, 求检验统计量以及拒绝域.


8.(15分)设 X∼U(0,θ)X \sim U(0, \theta), 且 X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为简单随机样本.

(1)证明 θ~1=max⁡(X1,X2⋯Xn)+min⁡(X1,X2⋯Xn)\widetilde{\theta}_{1}=\max \left(X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}\right)+\min \left(X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}\right) 为 θ\theta 的无偏估计;

(2)求 cnc_{n}, 使 θ~2=cnmin⁡(X1,X2⋯Xn)\widetilde{\theta}_{2}=c_{n} \min \left(X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}\right) 也是 θ\theta 的无偏估计, 并比较 θ~1\widetilde{\theta}_{1} 和 θ~2\widetilde{\theta}_{2} 的方差.