上海交通大学-432统计学-2018年

一.选择题 (10小题，每小题 6 分，共60分)

1. 某医生为写论文收集数据, 使用了他自己过往的病情经历, 这种抽样方式称为( ).
   A. 整群抽样
   B. 非随机的方便抽样
   C. 系统抽样
   D. 简单随机抽样

2. 设 $X$ 和 $Y$ 均服从标准正态分布, 则 ()
   (A) $X-Y$ 服从正态分布
   (B) $X^{2}+Y^{2}$ 服从卡方分布
   (C) $Y \mid X$ 服从正态分布
   (D) $X^{2}$ 服从卡方分布

3. 某个班男生的平均身高标准差为 $6 \mathrm{~cm}$, 为估计全校男生的平均身高, 置信水平 $95 \%$, 允许误差为 1 , 请问所需要的样本个数至少为( ).
   A. 138
   B. 139
   C. 140
   D. 141

4. 在线性回归模型 $y_i = a +b x_i +\varepsilon_i, i=1,\cdots,n$ 中, 正确的是( ).
   A. $(a,b)$ 的最小二乘估计与最大似然估计等价
   B. 最小二乘法中的残差和为 $0$
   C. 参数显著性 $t$ 检验不需要假设正态分布
   D. 以上均错误

5. 设 $X \sim B(100,0.2)$, 设 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的累积分布函数, 则 $X>28$ 的概率大约是 ()
   (A) $1-\Phi(2)$
   (B) $1-\Phi(1)$
   (C) $\Phi(2)$
   (D) $2 \Phi(2)-1$

6. 已知总体 $X$ 服从 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$, 总体 $Y$ 服从 $N\left(\mu_2, \sigma^2\right)$ 。现从总体 $X$ 中抽取 $n_1$ 个观测值, 其样本方差记为 $S_1^2$; 从总体 $Y$ 中抽取 $n_2$ 个观测值, 其样本方差记为 $S_2^2$ 。已知两组样本相互独立, $\sigma^2$ 末知, 那么 $\mu_1-2 \mu_2$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的区间估计的长度应 为: ( ).
   A. $2 t_{1-\alpha / 2}\left(n_1+n_2-2\right) S_w \sqrt{1 / n_1+4 / n_2}$, 其中 $S_w=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}$
   B. $2 t_{1-\alpha / 1}\left(n_1+n_2-2\right) S_w \sqrt{1 / n_1+1 / n_2}$, 其中 $S_w=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}$
   C. $2 t_{1-\alpha / 2}\left(n_1+n_2-2\right) S_w \sqrt{1 / n_1+1 / n_2}$, 其中 $S_w=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+4\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}$
   D. $2 t_{1-\alpha / 2}\left(n_1+n_2-1\right) S_w \sqrt{1 / n_1+1 / n_2}$, 其中 $S_w=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+4\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}$

7. 交警部门发布报告称: 在被怀疑酒驾司机中, $72 \%$ 的司机被要求采用呼 吸仪测量, $36 \%$ 的司机被要求采用血液仪测量, $18 \%$ 的司机被要求既采用呼吸仪测量又采用血液仪 测量, 那么一个被怀疑酒驾的司机, 不用这两种仪器测量的比例是 ( )
   A. $0.5$
   B. $0.25$
   C. $0.2$
   D. $0.1$

8. 以下哪项不是 (强) 大数定律的应用? ()
   (A) 观测值的算术平均值估计期望值
   (B)事件发生的频率估计概率
   (C)期望值的置信区间估计
   (D)用蒙特卡洛法计算定积分

9. 设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为来自均匀分布 $U(\theta-1, \theta+1)$ 的简单随机样本, 其顺序统计量记为 $X_{(1)}, \cdots, X_{(n)}$, 则 $\theta$ 的充分统计量为 ()
   (A) $X_{(1)}$
   (B) $X_{(n)}$
   (C) $\left\{X_{(1)}, X_{(n)}\right\}$
   (D) $X_{(n)}-X_{(1)}$

10. 某领导有 3 个顾问, 假定每个顾问贡献正确意见的概率是 0.5。现为某事可行与否而个别征求各 顾问意见, 并按多数人的意见做出决策, 则做出正确决策的概率是( )
    (A) $0.5$
    (B) $0.6$
    (C) $2 / 3$
    (D) $0.7$

二、简答题

1. 有来自 $U(0, \theta)$ 的简单随机样本, 试求样本极差 $R_n=x_{(n)}-x_{(1)}$ 的分布.

2. 从 $N(\mu,1)$ 总体抽取 100 个随机样本 $x_1,\cdots,x_{100}$, 为讨论假设检验问题

$$H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0$$

构造拒绝域 $W=\{|\bar{x}|<0.001\}$.

(1)(8分) 已知 $\Phi(0.01)<0.505$, 证明犯第一类错误概率 $\alpha <0.01$;
(2)(8分) $W$ 是一个合适的拒绝域吗? 为什么?

3. 什么叫指标体系? 设计指标体系时应注意哪些问题?

4. 简述逐步回归的作用, 向前选择与向后选择的差别.

三. 计算题

1. 为发展我国机械化养鸡, 某研究所根据我国的资源情况, 研究用槐树粉、苜蓿粉等原料代替国外用鱼粉做鸡饲料的办法. 他们研究了三种饲料配方: 第一种, 以鱼粉为主的鸡饲料; 第二种以塊树粉、苜蓿粉为主加少量鱼粉; 第三种, 以槐树粉、苜蓿粉为主加少量化学药品. 后两种是他们研制的新配方. 为比较三种饲料在养鸡增肥上的效果, 各喂养10 只母雏鸡, 于60 天后观测它们的重量. 如下表所示：

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { 第一种 } & 1073 & 1058 & 1071 & 1037 & 1066 & 1026 & 1053 & 1049 & 1065 & 1051 \\ \hline \text { 第二种 } & 1016 & 1058 & 1038 & 1042 & 1020 & 1045 & 1044 & 1061 & 1034 & 1049 \\ \hline \text { 第三种 } & 1084 & 1069 & 1106 & 1078 & 1075 & 1090 & 1079 & 1094 & 1111 & 1092 \\ \hline \end{array}$$

请对本例进行方差分析, 在 $\alpha = 0.05$ 的前提下给出你的结论. 注: $F_{0.95}(2,27)=3.35$.

2. $r$ 个人相互传球, 每传一次时, 传球者等可能地传给其余 $r-1$ 人中之一. 试求第 $n$ 次传球时, 此 球由最初发球者传出的概率 $p_n$ (发球那一次算作第 0 次).

四. 证明题

1. 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自密度为

$$f(x ; \theta)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x-\theta|}$$

的总体的样本, $-\infty<\theta<+\infty$, 试求出 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}_n$.