北京大学数院-431金融学综合-2018年

一、(10分) X,Y,X, Y, i.i.d.∼N(0,1),\sim N(0,1), 且 {X=Rcos⁡θY=Rsin⁡θ,\left\{\begin{array}{l}X=R \cos \theta \\ Y=R \sin \theta\end{array},\right. 求E(R2θ),E\left(R^{2} \theta\right), 其中R>0,θ∈[0,2π]R>0, \theta \in[0,2 \pi] .


二、(10分) X1,…,Xn,X_{1}, \ldots, X_{n}, i.i.d. ∼f(x)=ax2I[1<x<b],\sim f(x)=a x^{2} I[1<x<b], 其中 a>0,b>1,Bi={Xi>413}a>0, b>1, B_{i}=\left\{X_{i}>4^{\frac{1}{3}}\right\},

(1)(5分) P(B1∣B1∪B2)=0.7,P\left(B_{1} \mid B_{1} \cup B_{2}\right)=0.7, 求 a,ba, b;

(2)(5分) 在 (1) 的条件下, 证明 (∏k=1nXk)1n→c,\left(\prod_{k=1}^{n} X_{k}\right)^{\frac{1}{n}} \rightarrow c, a.s., 当 n→∞,n \rightarrow \infty, 并求常数 cc.


三、(10分) (X,Y)∼f(x,y)=14[1+12xy(x2−y2)],∣x∣<1,∣y∣<1,(X, Y) \sim f(x, y)=\frac{1}{4}\left[1+\frac{1}{2} x y\left(x^{2}-y^{2}\right)\right],|x|<1,|y|<1, 求 YY 的特征函数.


四、(10分) {N(t),t≥0}\{N(t), t \geq 0\} 是强度为 λ\lambda 的泊松过程, 当 0<t<s0<t<s 时, 计算 E[N(s)∣N(t)]E[N(s) \mid N(t)] 以及当 N(s)=nN(s)=n时, N(t)N(t) 的条件分布.


五、(10分) A1∪A2∪A3=Ω,P(A1)=P(A3)=P(A3)=p,A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}=\Omega, P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{3}\right)=P\left(A_{3}\right)=p, 且三者不同时发生, 求 pp 的范围.


六、(15分) 总体 X∼B(1,p),x1,…,xnX \sim B(1, p), x_{1}, \ldots, x_{n} 为简单随机样本,

(1)(5分) 求 pmp^{m} 的一致最小方差无偏估计 (0<m≤n)(0<m \leq n);

(2)(5分) 求 P(∑j=1n−1xj>xn)P\left(\sum_{j=1}^{n-1} x_{j}>x_{n}\right) 的一致最小方差无偏估计;

(3)(5分) 给出一种求 pp 的区间估计的方法.


七、(10分) 现有正态分布 N(μ,1)N(\mu, 1) 的 nn 个样本 x1,…,xn,x_{1}, \ldots, x_{n}, 取值小于 0 时记为 1,1, 否则记为 0,0, 求 μ\mu 的 MLE\mathrm{MLE}


八、(10分) 叙述并证明Neyman-Pearson引理.


九、(15分) Y,X1,…,XnY, X_{1}, \ldots, X_{n} 是方差有限的随机变量, EY=μ,EXi=μi,E Y=\mu, E X_{i}=\mu_{i}, XX 的协方差矩阵 Σ\Sigma 正定， C=(Cov⁡(X1,Y),…,Cov⁡(Xn,Y)),C=\left(\operatorname{Cov}\left(X_{1}, Y\right), \ldots, \operatorname{Cov}\left(X_{n}, Y\right)\right), 求常数 b0,b1,…,bnb_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n} 使得E[Y−b0−b1X1−…−bnXn]2E\left[Y-b_{0}-b_{1} X_{1}-\ldots-b_{n} X_{n}\right]^{2} 达到最小.