复旦大学-432统计学-2018年

一、(20分) 从1-10中不放回选3个数字, 求以下概率
(1)(5分) 最小数字是5;
(2)(5分) 最大数字是5;
(3)(5分) 至少一个小于6;
(4)(5分) 一个小于5, 一个等于5, 一个大于5.


二、(15分) 你在重复尝试一个成功概率为pp的事件, 直至连续出现两次成功或两次失败才停止, 求你以两次成功停止的概率.


三、(15分) 求二项分布, (a,b)(a,b)上均匀分布, 伽马分布的期望和方差.


四、(20分) 证明E(X2)<∞E\left(X^{2}\right)<\infty的充要条件是级数∑nP(∣X∣>n)\sum n P(|X|>n)收敛.


五、(20分) X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3}是取自期望为α\alpha的指数分布的随机样本, 求概率 P(X1<X2<X3)P\left(X_{1}<X_{2}<X_{3}\right) 以及 X(1)X_{(1)} 的概率密度.


六、(20分) P(Xi=−0.3)=P(Xi=0.4)=12,i=1,2,…,n,P\left(X_{i}=-0.3\right)=P\left(X_{i}=0.4\right)=\frac{1}{2}, i=1,2, \ldots, n, 相互独立, 构造随机变量序列Yn=∏i=1n(Xi+1),Y_{n}=\prod_{i=1}^{n}\left(X_{i}+1\right), 求YnY_{n}的极限并证明YnY_{n}的期望趋于无穷.


七、(20分) 有一堆球: 2红, 3黑, 4白. 从中随机摸一个球, 如果是黑色则记你赢, 如果是其他颜色, 则有放回的继续摸球, 直至重复出现该颜色或黑色为止, 如果出现你第一次摸到的颜色, 则你赢, 否则你输. 求你赢的概率.


八、(20分)
(1)(10分) 解释相合估计;
(2)(10分) X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n}是来自一个同一个总体的样本, 写出一个中位数的相合估计, 并说明理由.