中山大学-432统计学-2018年

一、选择题(每小题3分, 共60分)

以下哪条不是概率的公理化定义中概率函数的性质? ()
(A)有限可加性
(B)次可加性
(C)单调性
(D)右连续性

已知 $A, B$ 两个随机事件满足 $P(A \cap B)=P(\bar{A} \cap \bar{B})$ , 且 $P(A)=p$ , 则 $P(B)$ 等于()
(A) $p$
(B) $1-p$
(C) $(1-p) p$
(D) $p^{2}$

设事件 $A, B$ 互不相容, 且 $P(A)>0, P(B)>0$ , 则有 ()
(A) $P(B \mid A)>0$
(B) $P(A \mid B)=P(A)$
(C) $P(A \mid B)=0$
(D) $P(A B)=P(A) P(B)$

某班有 5 个士兵, 每人各有一支枪, 这些枪的外形完全一样。在一次夜间紧急集合中, 若每人随机取走一支枪, 恰好有三个人拿到自己的枪的概率是()
(A) $1 / 4$
(B) $1 / 5$
(C) $1 / 6$
(D) $1 / 12$

若发报机以 $0.7$ 和 $0.3$ 的概率发出信号 0 和 1 , 由于随机干扰的影响, 当发出信号 0 时, 接收机不一定收到 0 , 而是以概率 $0.8$ 和 $0.2$ 收到信号 0 和 1 ; 同样地, 当发报机发出信号 1 时, 接收机以概率 $0.9$ 和 $0.1$ 收到信号 1 和 0 。当接收机收到信号 1 时, 发报机是发出信号 1 的概率是 ()
(A) $9 / 10$
(B) $56 / 59$
(C) $27 / 41$
(D) $17 / 32$

假设独立随机变量 $X, Y$ 服从同一名称的概率分布(二者的分布参数末必相同)。且 $X+Y$ 也服从同一名称的概率分布。则 $X, Y$ 不可能服从()
(A) 二项分布
(B) 泊松分布
(C) 正态分布
(D) 指数分布

设 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim \mathrm{N}(0,1), Y \sim N(1,4)$ , 则有 ( )
(A) $\mathrm{P}(\mathrm{X}+\mathrm{Y} \leq 0)=1 / 2$
(B) $\mathrm{P}(\mathrm{X}+\mathrm{Y} \leq 1)=1 / 2$
(C) $\mathrm{P}(\mathrm{X}-\mathrm{Y} \leq 0)=1 / 2$
(D) $P(X-Y \leq 1)=1 / 2$

以下哪项不是 (强) 大数定律的应用? ()
(A) 观测值的算术平均值估计期望值
(B)事件发生的频率估计概率
(C)期望值的置信区间估计
(D)用蒙特卡洛法计算定积分

设总体分布为参数为 2 的指数分布 $\operatorname{Exp}(2)$ (密度函数参看试卷末尾)。现分别有来自总体的容量分别为 200 和 400 的两独立样本, 则此两样本均值之差的绝对值大于 $\sqrt{3} / 20$ 的概率大约是 ()
(A) $2 \Phi(1.5)-1$
(B) $2 \Phi(1.5)$
(C) $2 \Phi(2)$
(D) $2-2 \Phi(2)$

关于随机变量序列 $X_{n}$ 依概率收敛到随机变量 $X$ , 则下列说法不正确的是()
(A) $X_{n}$ 概率 1 收敛到 $X$
(B) $X_{n}$ 依分布收敛到 $X$
(C) $X_{n} 2$ 阶矩不一定收敛
(D) $X_{n}^{2}$ 依概率收敛到 $X^{2}$

若 $X$ 服从标准正态分布 $\mathrm{N}(0,1), Y$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布 $\chi^{2}(n), Z$ 服从自由度为 $m$ 的卡方分布 $\chi^{2}(m)$ , 则()
(A) $X^{2} \sim \chi^{2}(1)$
(B) $\frac{x}{\sqrt{Y / n}} \sim t(n)$
(C) $\frac{Y / n}{Z / m} \sim F(n, m)$
(D)以上皆对

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本, $\mu$ 末知而 $\sigma^{2}$ 已知。 $\bar{X}$ 和 $S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 为样本均值及样本方差。记, $T_{1}=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma / n}, T_{2}=\frac{\bar{x}-\mu}{s / n}, T_{3}=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ , 则 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中统计量的个数为 ()
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为泊松分布 $\operatorname{Pois}(\lambda)$ 的样本, $\bar{X}$ 和 $S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 为样本均值及样本方差, 则 $\mathrm{E}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ 为 ()
(A) $(n+1) \lambda$
(B) $(n+1) \lambda^{2}$
(C) $n \lambda^{2}+\lambda$
(D) $n \lambda^{2}+2 \lambda$

设 $X_{1}, \cdots, X_{10}$ 为正态总体 $X \sim N(0,2)$ 的样本, 记 $T=\sum_{i=1}^{10}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ , 则 $T$ 的方差为 ()
(A) 9
(B) 18
(C) 36
(D) 72

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为来自均匀分布 $U(\theta-1, \theta+1)$ 的简单随机样本, 其顺序统计量记为 $X_{(1)}, \cdots, X_{(n)}$ , 则 $\theta$ 的充分统计量为 ()
(A) $X_{(1)}$
(B) $X_{(n)}$
(C) $\left\{X_{(1)}, X_{(n)}\right\}$
(D) $X_{(n)}-X_{(1)}$

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的样本, $Y_{1}, \cdots, Y_{m}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(1, \sigma^{2}\right)$ 的样本。记 $S_{X}^{2}=$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{Y}^{2}=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$ , 则下列说法正确的是()
(A) $\left(S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}\right) / 2$ 是 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量
(B) $\left(S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}\right) / 2$ 是 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量
(C) $\left(S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}\right) / 2$ 是 $\sigma^{2}$ 的充分统计量
(D) $\left(S_{X}+S_{Y}\right) / 2$ 是 $\sigma$ 的最大似然估计量

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda), \bar{X}$ 和 $S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 为样本均值及样本方差。则下列统计量的分布不依赖于 $\lambda$ 的是 ()
(A) $\bar{X}$
(B) $\mathrm{S}$
(C) $\bar{X}-S$
(D) $\bar{X} / S$

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为标准正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ 的样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则 ()
(A) $\bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(1)$
(B) $n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(1)$
(C) $n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(n)$
(D) $\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$

若总体 $X$ 的密度函数为

f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{6 x(\theta-x)}{\theta^{3}}, & 0<x<\theta, \\ 0, & \text { 其他, } \end{array}\right.

其中 $\theta>0$ 为末知参数。 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本, 则 $\theta$ 的矩法估计量是()
(A) $\bar{X}$
(B) $2 \bar{X}$
(C) $3 \bar{X}$
(D) $4 \bar{X}$

设某总体 $X$ 的一阶与二阶原点矩分别为 $\mu_{1}$ 和 $\mu_{2}, X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本, 令 $Q=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\right.$ $\bar{X})^{2}$ , 则下列说法正确的是 ( )
(A) $\bar{X}^{2}$ 是 $\mu_{1}^{2}$ 的无偏估计量
(B) $\bar{X}^{2}$ 是 $\mu_{2}$ 的无偏估计量
(C) $\bar{X}^{2}+Q / n$ 是 $\mu_{2}$ 的无偏估计量
(D) $\bar{X}^{2}+Q /(n-1)$ 是 $\mu_{2}$ 的无偏估计量

二、(24 分)设随机向量 $(\xi, \eta)$ 服从 $D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}$ 上的均匀分布。
(1) (8 分) 求 $Z=\min \{\xi, \eta\}$ 的密度函数。
(2) (8 分) 令 $U=\left\{\begin{array}{l}0, \xi \leq \eta \\ 1, \xi>\eta\end{array} ; V=\left\{\begin{array}{l}0, \xi \leq 2 \eta \\ 1, \xi>2 \eta\end{array}\right.\right.$ 。求 $(U, V)$ 的分布。
(3) (8 分) 求 $U, V$ 相关系数。

三、(20 分) 设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为贝塔分布 $\operatorname{Beta}(\theta, 1)$ 的样本, 密度函数为:

f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc} \theta x^{\theta-1}, & 0<x<1 ， \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.

(1) (8 分) 求 $\theta$ 的矩法估计量 $\hat{\theta}_{1}$ 。
(2) (12 分) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{2}$ ; 并进一步求 $p=\mathrm{P}(\mathrm{X}<0.5)$ 的最大似然估计量。

四、(20 分) 求下列情况中 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间。
(1) (10 分) 设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}\left(\theta, \theta^{2}\right)$ 的样本, $\theta>0, n>10$ , 且 $\bar{X}>0$ 。
(2) (10 分) 设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为正态分布 $\mathrm{N}(\theta, \theta)$ 的样本, $\theta>0, n>10$ , 且 $\bar{X}>0$ 。

五、(26 分) 设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 为正态分布 $N(0, \theta)$ 的样本, 密度函数为:

f(x ; \theta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \theta}} e^{-x^{2} / 2 \theta}, \quad-\infty<x<+\infty,

其中 $\theta$ 为方差 (末知)。令 $T=\left|\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right|$ 。
(1) (10 分) 求 $b$ , 使得 $\mathrm{E}(b T)$ 为 $\sqrt{\theta}$ 的无偏估计量。
(2)(16 分) 考虑假设检验 $H_{0}: \theta=1$ vs $H_{1}: \theta \neq 1$ 。构建拒绝域 $C=\{T>2 \sqrt{n}\}$ 。求此检验的势函
数 (功效函数) 与第一类错误。(注: 用标准正态分布的累积分布函数 $\Phi$ 表示即可)。

注: 参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$ 的密度函数为:

f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.