北大叉院-849统计学-2018年

一、(8分) 有 4 份古卷放在书架上,请问第 1 卷与第 2 卷相邻的概率为多少?

二、(8分) 甲、乙独立地向同一目标射击,甲命中的概率是 0.6,乙命中的概率是 0.8. 求在已知目标被命中的情况下,是乙命中的概率.

三、(10分) 甲袋中装有 2 个白球和 1 个黑球,乙袋中装有 2 个黑球和 1 个白球. 现在随机地先从甲袋中取出一球放入乙袋中,再从乙袋中取出 1 球,请问第二次从乙袋中 取出黑球的概率是多少?

四、(10分) 目前有 $n$把外观相似的钥匙用于开一扇上锁的门, $n$ 把钥匙中只有一把能打开. 随机从$ n$ 把钥匙中取出一把用于开锁,如果不能开锁就将其放回,重新抽取.请问成功开锁 所需要的取钥匙次数的期望为多少?

五、(12分) $X \sim f(x)=c x(1-x) I[0<x<1],$ 求

(1) $c$;

(2) $X$ 与 $\sqrt{X}$ 的相关系数.

六、(12分) 有来自总体 $f(x)=\frac{2 \theta^{2}}{x^{3}} I[x \geq \theta]$ 的 $n$ 个随机样本, 求 $\theta$ 的矩估计、最大似然估计.

七、(15分) 设随机变量 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布:

(1)(7分) 求 $\theta$ 的极大似然估计;

(2)(8分) 构造 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间.

八、(15分) 有来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的 $n$ 个随机样本, $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间长度为 $L$, 求 $E L^{2}$.

九、(15分) $X_{0}, X_{1}, \ldots, X_{n}$ 独立同服从 $G e(p),$ 求 $\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{X_{0}} X_{i}, \sum_{i=1}^{X_{0}} X_{X_{0}+i}\right)$.

十、(15分) 设随机变量 $X$ 服从 $[\theta-\rho, \theta+\rho]$ 上的均匀分布，试求 $\theta$ 和 $\rho$ 的极大似然估计, 并说明其 极大似然估计是否为无偏估计, 并证明你的结论.

十一、(15分)叙述中心极限定理, 并利用中心极限定理证明:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k !} e^{-n}=\frac{1}{2}.$

十二、(15分) 设有方程组

$\left\{\begin{array}{c} y_{1}=\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+\varepsilon_{1}, \\ y_{2}=\theta_{1}-\theta_{2}-\theta_{3}+\varepsilon_{2}, \\ y_{3}=-\theta_{1}+\theta_{2}-\theta_{3}+\varepsilon_{3}, \\ y_{4}=-\theta_{1}-\theta_{2}+\theta_{3}+\varepsilon_{4}. \end{array}\right.$

其中, $\varepsilon_{i}$ i.i.d $\sim N\left(0, \sigma^{2}\right), \sigma^{2}$ 未知, 求

(1)(7分) $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ 的 UMVUE;

(2)(8分) $\theta_{1}$ 的置信度为$1-\alpha$的最短置信区间.