复旦大学861-861概率论与数理统计-2018年

一、(30 分) 解决下述问题:

(1) 已知 AA 与 Bˉ\bar{B} 互不相容, 且 P(A)=0.6,P(B)=0.7P(A)=0.6, P(B)=0.7, 试求 P(A∣B)P(A \mid B);

(2) 随机向量 (X,Y)∼N(0,0;1,4;ρ)(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,4 ; \rho), 且 D(2X−Y)=1D(2 X-Y)=1, 试求 ρ\rho;

(3) XiX_{i} 是独立同分布的随机变量, 已知 E(Xi)=D(Xi)=1E\left(X_{i}\right)=D\left(X_{i}\right)=1, 试求

lim⁡n→∞P(∑i=1nXi−n>n)\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n>\sqrt{n}\right)


二、 (20(20 分 )) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自标准正态分布的随机样本, 尝试解决以下问题

(1) 试求 Sn=∑i=1nXiS_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} 的分布;

(2) 试求 lim⁡n→∞P(∣1nSn∣≤1n)\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} S_{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right).


三、 (20 分) 解决下述问题:

(1) 用特征函数的方法证明：若 XiX_{i} 是独立同分布, 均服从参数为 1 的泊松分 布, 则 1n(∑i=1nXi−n)\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n\right) 渐进服从标准正态分布;

(2) A,B,CA, B, C 两两独立不同时发生, 且 P(A)=P(B)=P(C)=pP(A)=P(B)=P(C)=p, 试证明 p≤12p \leq \frac{1}{2}.


四、 (50 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自双参数指数分布的简单随机样本, 总体的密度函数为

f(x)={1λe−x−θλ,x>θ0,x≤θf(x)= \begin{cases}\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x-\theta}{\lambda}}, & x>\theta \\ 0, & x \leq \theta\end{cases}

其中尺度参数 λ>0\lambda>0 已知.

(1) 试求 θ\theta 的矩估计及其均方误差;

(2) 试求 θ\theta 的极大似然估计及其均方误差;

(3) 判断以上两个估计量是否是相合的;

(4) 试求 θ\theta 的一个充分统计量, 并求 x(1)−θx_{(1)}-\theta 的分布, 判断其分布是否依赖于 θ\theta;

(5) 给出 θ\theta 的 1- α\alpha 置信区间.


五、 (30 分) 设 {Xi}\left\{X_{i}\right\} 是来自均匀分布 U(0,θ)U(0, \theta) 的简单随机样本, 考虑如下的假设检 验问题

H0:θ≤12 vs θ>12H_{0}: \theta \leq \frac{1}{2} \quad \text { vs } \quad \theta>\frac{1}{2}

现给出一个拒绝域为 W={x(n)>c}W=\left\{x_{(n)}>c\right\}, 其中 cc 是一个待确定常数, 解决下述问题

(1) 求该检验法的功效函数;

(2) 找出最小的常数 cc, 使得该检验犯第一类错误的概率不超过 0.050.05;

(3) 对于 (2) 中确定的常数 cc, 当 θ=34\theta=\frac{3}{4} 时, 想要控制该检验犯第二类错误的概率不超过 0.020.02, 那么样本量 nn 至少为多少;

(4) 若样本容量 n=20n=20, 且 x(20)=0.48x_{(20)}=0.48, 已知 0.95120=0.99740.95^{\frac{1}{20}}=0.9974, 试在 0.050.05 的显 著性水平下对该假设检验问题作出判断.