北京大学-431金融学综合-2018年

2018统计部分真题

一、(15分) 解释或回答以下概念及问题:

（1）（5 分）随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关性。
（2）（5 分）随机变量 $X$ 和 $Y$ 的独立性。
（3）（5 分）如果 $X$ 和 $Y$ 不相关，那么 $X$ 和 $Y$ 是否独立？请具体论述。

二、（15 分）给定模型 $y_i =b x_i + \varepsilon_i$ ，随机误差项 $\varepsilon_i\sim N(0, \sigma^2)$ 相互独立, 其中 $\sigma^2>0$ 未知, 现收集到数据 $(x_i, y_i)$ , $i = 1,2,\cdots,n$ .

（1）（5 分）请给出 $b$ 的最小二乘估计量 $\hat{b}$ 。

（2）（5 分）求 $\hat{b}$ 的期望、方差和分布。

（3）（5 分）对于检验问题 $H_0: b = 0$ vs $H_1: b > 0$ , 给出检验法.

三、（10 分）工商局抽查了 $N$ 家小微企业，发现 $M$ 家企业存在违规行为。请你设计一个统计模型，检验企业主的性别男女与违规行为是否有关。

四、(15分) 在股票交易系统中，任何一只股票连续两次交易的时间间隔 $t_i$ 服从泊松分布。现有两只股票一周的全部交易数据，请检验这两只股票是否服从同一泊松分布。

五、（20 分）假定一个研究者要考查公司管理层的收入是否与公司管理的绩效有关，收集相关数据建立了一个回归模型，变量 $y$ 为CEO 年薪，变量 $x_1$ 为公司上一年年报收益，变量 $x_2$ 为公司上一年市场价格，变量 $x_3$ 为公司盈利能力，变量 $x_4$ 为公司规模。使用的回归模型为：

y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \beta_4 x_4 + \varepsilon

（1）如果只利用收集到的20 家公司进行分析，是否合适？如不合适，请给出原因。

（2）如果通过收集数据，将公司数量增加到80 家，使用这些数据重新估计模型，请判断系数的估计值是否会改变， $t$ 统计量的值是否会改变。模型的调整 $R^2$ 是否会改变，如果会改变，给出其化关系。

（3）如果通过上述80 家公司，发现模型的 $R^2$ 并不低，但所有变量的系数都不显著。请你分析可能存在的原因，以及如何进行改进？

2018微观部分真题

一、（20分）假设明天的世界有两种气象状态，晴天或雨天。晴天时，消费者可固定享受收益 $y_1$ 碗热干面。雨天时，其收益 $y_2$ 是随机的，具有一半概率为 $y_H$ ，另一半概率为 $y_L$ ，且 $y_H > y_L$ 。消费者的偏好是 $U = \min\{E(c_1), E(c_2)\}$ ，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 分别表示明天在晴天和雨天两种状态下，消费者所获得的热干面数量， $E$ 表示基于今天信息的数学期望。

公司 $C$ 在今天的期货市场上交易两种状态下的热干面期货，价格分别为 $p_1$ 和 $p_2$ 。消费者可以以 $p_1$ 的价格向公司 $C$ 购买晴天的热干面期货，即今天支付 $p_1$ ，如果明天是晴天，则公司 $C$ 提供 $1$ 碗热干面。如果明天是雨天，则公司 $C$ 不提供该商品。

消费者的目标是在今天进行期货交易以满足不同气象状态下的期望收益，假设消费者在今天没有任何初始收益。

(5 分) 写出在今天的期货市场上的预算约束。
(10 分) 求 $x_1$ 的表达式。
(3 分) $x_1$ 一定是负的吗？
(2 分) 若 $p_1, p_2$ 均翻倍，对 $x_1$ 有何影响？

二、（20 分）考虑一个有三家公司各自生产产品参加的博弈。如果每家公司 $i$ 选择自己公司商品的价格 $P_i \in [0, +\infty)$ ，那么这家公司的销售数量是 $1 - P_i + k \sum_{-i} P_j = 1 - P_i + k \sum_{j\neq i} P_j$ ，边际成本为 $c_i > 0$ 。请计算每家企业的商品价格以及获得的利润。

三、（10 分）有两种商品 $x$ 和 $y$ ，小丽的效用函数为 $u = x + y$ ，小贾的效用函数为 $u = \max\{x, y\}$ 。

（3 分）请用无差异曲线在埃奇沃思矩形图中表示两个人的偏好。
（3 分）请猜想 $x$ 和 $y$ 的均衡价格有什么关系？
（4 分）猜猜在均衡的情况下，分配结果会是什么样？

四、(25分) 某市正规划新建一个音乐会场地。假设城市中有两个居民：小丽（L）和小贾（J）。居民的个人捐赠将成为建造该场地经费的唯一来源。假设两位居民对于私有品（ $X_i$ ）和场地总尺寸（ $S$ ）的效用函数为 $U_i(X_i, S) = 0.5 \ln(X_i) + 0.5 \ln(S)$ ，场地总尺寸即为其总座位数 $S$ ，等于由小丽和小贾各自捐赠的座位数之和，即 $S = S_L + S_J$ 。小丽的收入为 $200$ ，小贾的收入为 $100$ 。假设私有品和座位数的单位价格均为 $1$ 。

（5 分）如果政府不干预的话，该场地将会建造多少座位？其中多少是由小丽捐赠的，多少是由小贾捐赠的呢？
（5 分）总座椅数的社会最优解是多少？如果你的答案与（1）不同，请解释原因。

现在，假设一个座位的价格从1变为 $P_S$ ，而私有品的价格仍为1，在改变价格的同时，小丽和小贾的收入按照如下方式相应改变:当价格变为 $P_S$ 时，小丽和小贾的预算约束增加了 $C_L$ 和 $C_J$ ，其中 $C_L=(P_S-1)S_L$ ， $C_J=(P_S-1)S_J$ 。增加后的预算约束称为补偿预算约束。

（5 分）写下小丽和小贾的补偿预算约束的表达式。你觉得它们为什么被称作“补偿约束”？
（10 分）通过需求曲线的纵向加总，求出社会最优解。
(i) 按如下方式推导 $S$ 的逆需求曲线:
a.满足补偿约束运算的前提下,最大化小丽和小贾的需求曲线。注意在求导之前，不要代入 $C_L$ 和 $S_J$ 的表达式。
b.对于小丽和小贾，求解 $S_L$ 和 $S_J$ ,作为 $P_S$ 的自变量的函数形式。请使用你在(i)中得到的结果推导社会需求曲线。
(ii)回到 $P_S=1$ ， $P_X=1$ 的初始设定。请通过使社会需求曲线与社会供给曲线(即场地座位的边际成本)相等，找到座椅数的社会均衡数量。和(2)结果相比，是否不同?