北京师范大学-432统计学-2017年

一、选择题（15分）

分布中位数小于平均数, 则一般来说, 该分布( ).
A. 左偏
B. 右偏
C. 正偏
D. 无偏
根据样本已经得到了 $\theta$ 的 $95\%$ 置信区间 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ , 正确的是( ).
A. 该区间以 $95 \%$ 的概率包含真值
B. 参数 $\theta$ 在该区间内的概率为 $95 \%$
C. 该区间有 $95 \%$ 的可能性包含参数 $\theta$
D. 参数 $\theta$ 或者在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内, 或者不在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内
下列说法错误的是( )
A. 两类错误之和可以大于 1
B. 假设检验与置信区间没有联系
C. 增大样本量可以同时提高置信度和精度
D. 独立一定不相关
技术人员对某生产线上的产品每隔10件抽样一次, 他使用的抽样方法是( ).
A. 简单随机抽样
B. 整群抽样
C. 分层抽样
D. 系统抽样
设有来自方差为 $\sigma^2$ 的总体的随机样本 $X_1,\cdots,X_n$ , 定义样本均值 $\bar{X}$ , 则有 $Var(X_1-\bar{X})=$ ( ).
A. $\sigma ^2$
B. $\frac{n-2}{n}\sigma ^2$
C. $\frac{n+1}{n}\sigma ^2$
D. $\frac{n-1}{n}\sigma ^2$

二、问答题

(10分) 随机变量的定义是什么?
(10分) 某篮球队队员年龄为 $37, 35, 32, 28, 27, 27, 24, 22, 19$ , 写出这组数据的分析报告.
(12分) 一学生接连参加同一课程的两次考试, 第一次及格的概率是 $p$ , 若第一次及格则第二次及格的概率是 $p$ ; 若第一次不及格则第二次及格的概率是 $\frac{p}{2}$ . 求:
(1) 若至少有一次及格则他能够取得某资格, 求他取得该资格的概率;
(2) 若已知他第二次已经及格, 求他第一次及格的概率.
(10分) 有奖竞猜活动, 三个门里分别是汽车、羊、羊, 猜中汽车得奖. 你先选一个, 然后主持人把没有汽车的门打开, 问: 你此时要不要换? 为什么?
(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是 i.i.d. 的 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机样本, 其中 $\mu,\sigma^2$ 是未知参数.
(1) (7分) 样本标准差是总体标准差无偏估计吗?
(2) (8分) $\bar{x}^2$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计吗? 若不是, 给出 $\mu^2$ 的一个无偏估计.
(15分) (1) 比较均值、众数、中位数的特点, 并举例说明;
(2) 比较标准差和变异系数的特点, 并举例说明;
(3) 说明标准分数的计算公式, 并说明其意义.
(15分) 某人每天上班路上花费 $X$ 分钟, 是随机变量 $N(50,100)$ . 七点出发, 八点上班.
(1)(7分) 他某天迟到的概率是多少?
(2)(8分) 一周(5天)最多迟到一天的概率是多少?
可能用到的: $\Phi(1)=0.8413$ , $\Phi(2) =0.9772$ .
(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的独立样本.
(1) (7分) 求 $\sigma^2$ 的MLE, 它是无偏估计吗?
(2) (8分) 如果 $\sigma^2 =9$ , 求 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间.
(15分) 从 $N(\mu,1)$ 总体抽取 100 个随机样本 $x_1,\cdots,x_{100}$ , 为讨论假设检验问题

H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0

构造拒绝域 $W=\{|\bar{x}|<0.001\}$ .

(18分) 有下述一元线性的方差分析表

变量	平方和	自由度	Prob( $>F$ )
回归	612	1	0.0001
残差
总	888	29

(1)(4分) 样本量和参数分别是几个?
(2)(4分) 补齐方差分析表.
(3)(5分) 给定 $\alpha=0.05$ , 方程是否显著?
(4)(5分) 给出 $R^2$ , 以及误差方差的估计量.