中国科学技术大学-432统计学-2017年

一、(10分)设事件 A,B,CA, B, C 两两独立, 满足 P(A)=P(B)=P(C)=p<0.5\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(C)=p<0.5, ABC=∅ , 且 P(A∪B∪C)=9/16 , 求 p.A B C=\emptyset \text { , 且 } \mathrm{P}(A \cup B \cup C)=9 / 16 \text { , 求 } p .


二、(12分) 设 X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} 为相互独立且服从 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 分布的随机变量, 定义

Y1=33(X1+X2+X3),Y2=22(X1−X2)Y_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right), \quad Y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(X_{1}-X_{2}\right)

试求 Var⁡(Y1Y2)\operatorname{Var}\left(Y_{1} Y_{2}\right).


三、(24分) 设随机变量 XX 服从 (a,b)(a, b) 区间上的均匀分布, 其中 0<a<b<∞0<a<b<\infty. 在给定 X=xX=x 的条件下, YY 服从参数为 xx (即失效率为常数 xx ) 的指数分布.

  1. 试求 XX 与 XYX Y 的联合概率密度;

  2. 试判断 XX 与 XYX Y 是否相互独立;

  3. 求 XYX Y 的分布函数及期望 E[XY]\mathrm{E}[X Y];

  4. 求函数 h(x)h(x) 使得 h(XY)h(X Y) 服从 U(0,1)U(0,1) 分布.


四、(18分) 现抛掷一枚不均匀的硬币, 每次抛掷出现正面的概率为p∈(0,1)p\in\left(0,1\right), 出现反面的概率为 q=1−p.q=1-p . 按如下规则进行抛掷, 问正反面出现的平均次数之比各为多少?

  1. 抛掷直到抛出第一个正面为止;

  2. 抛掷直到抛出第一个反面为止;

  3. 抛掷 100 次.


五、(12分) 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 独立同分布, σ2=Var⁡(X1)\sigma^{2}=\operatorname{Var}\left(X_{1}\right) 存在有限, 但未知. 证明样 本方差是 σ2\sigma^{2} 的无偏估计, 并判断样本标准差是否为 σ\sigma 的无偏估计.


六、(20分) 假设 X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} 为从总体 FθF_{\theta} 中抽取的简单随机样本, FθF_{\theta} 有概率密度 f(x,θ)f(x, \theta), 其中 θ\theta 为未知参数, 且

f(x,θ)=θ2xe−θx,∀x>0f(x, \theta)=\frac{\theta}{2 \sqrt{x}} e^{-\theta \sqrt{x}}, \quad \forall x>0

  1. 求 Xi\sqrt{X_{i}} 的分布;

  2. 求 1/θ21 / \theta^{2} 的矩估计和极大似然估计;

  3. 分别判断所求 1/θ21 / \theta^{2} 的矩估计和极大似然估计是否为无偏估计.


七、(12分) 测量一个物体的重量, 已知测量值服从正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right), 测量 10 次, 求出样本均值 10.4810.48, 标准差为 1.36.1.36 . 试求:

  1. 该物体重量 μ\mu 的置信水平为 90%90 \% 的置信区间;

  2. 测量标准差 σ\sigma 的置信水平 95%95 \% 的置信区间.


八、(12分) 以 XX 记 nn 次独立重复试验中某事件 AA 发生的次数, 在任一次试验中事 件 AA 发生的概率为 p.p . 考虑检验问题 H0:p=0.5⟷H1:p>0.5.H_{0}: p=0.5 \longleftrightarrow H_{1}: p>0.5 . 该检验的否 定域为 X=nX=n.

  1. 该检验犯第一类错误的概率;

  2. 当 p=0.8p=0.8 时, 求该检验犯第二类错误的概率.


九、(18分)设 X1,…,X6X_{1}, \ldots, X_{6} 是从正态总体 N(0,σ12)N\left(0, \sigma_{1}^{2}\right) 中抽出的随机样本, Y1,…,Y9Y_{1}, \ldots, Y_{9} 是从正态总体 N(0,σ22)N\left(0, \sigma_{2}^{2}\right) 中抽出的另一随机样本, 两组样本独立, 其中 σ12\sigma_{1}^{2} 与 σ22\sigma_{2}^{2} 未知. 已知 ∑i=16Xi2/∑j=19Yj2=1.94\sum_{i=1}^{6} X_{i}^{2} / \sum_{j=1}^{9} Y_{j}^{2}=1.94, 考虑如下的检验问题: H0:σ12≤σ22⟷H1:σ12>H_{0}: \sigma_{1}^{2} \leq \sigma_{2}^{2} \longleftrightarrow H_{1}: \sigma_{1}^{2}>,σ22\sigma_{2}^{2}, 其中检验水平 α=0.05.\alpha=0.05 .


十、(12分) 设 X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} 是从正态总体 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 中抽出的随机样本, 证明样本方差与样本均值相互独立.


附: 可能用到的几类分布的上分位点: u0.05=1.645,u0.025=1.96,t9(0.05)=u_{0.05}=1.645, u_{0.025}=1.96, t_{9}(0.05)=,1.833,t10(0.05)=1.812,χ92(0.025)=19.023,χ102(0.025)=20.483,χ92(0.05)=1.833, t_{10}(0.05)=1.812, \chi_{9}^{2}(0.025)=19.023, \chi_{10}^{2}(0.025)=20.483, \chi_{9}^{2}(0.05)=,16.919,χ102(0.05)=18.308,χ92(0.975)=2.7,χ102(0.975)=3.247,F6,9(0.05)=3.3716.919, \chi_{10}^{2}(0.05)=18.308, \chi_{9}^{2}(0.975)=2.7, \chi_{10}^{2}(0.975)=3.247, F_{6,9}(0.05)=3.37,F5,8(0.05)=3.69F_{5,8}(0.05)=3.69.