中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2017年

一、计算题(理由要充分.每小题8分,共88分)

  1. 设AA与BB独立, BB与CC独立, AA与CC互斥, 且P(A)=1/2,P(B)=1/4\mathrm{P}(A)=1 / 2, \mathrm{P}(B)=1 / 4和P(C)=1/8.\mathrm{P}(C)=1 / 8 . 求P(A∪B∪C)\mathrm{P}(A \cup B \cup C).

  1. 设随机变量X,YX, Y和ZZ满足Var⁡(X)=Var⁡(Z)<∞,Var⁡(Y)=4Var⁡(X),\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Z)<\infty, \operatorname{Var}(Y)=4 \operatorname{Var}(X), 相关系数ρX,Y=−1,ρX,Z=1/2,\rho_{X, Y}=-1, \rho_{X, Z}=1 / 2, 求XX与Y+ZY+Z的相关系数ρX,Y+Z\rho_{X, Y+Z}.

  1. 设随机变量XX与YY相互独立, 其中XX服从{1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}上的均匀分布(即取每个值的概率为1/n),Y1 / n), Y具有概率密度函数 f(y),f(y), 问X+YX+Y是否具有概率密度函数? 若有, 请求出该概率密度函数.

  1. 投掷一枚均匀的硬币, 如果硬币出现正面, 则再投掷一颗均匀的骰子; 如果硬币出现反面, 则再投掷2颗均匀的骰子. 记YY为投掷的骰子出现的点数或点数和, 求P(Y=4)\mathrm{P}(Y=4).

  1. 设X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}为正值且独立同分布的随机变量, 求E[X1+X2+⋯+XkX1+X2+⋯+Xn],\mathrm{E}\left[\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{k}}{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}\right], 其中1≤k≤n1 \leq k \leq n.

  1. 设随机向量(X,Y)(X, Y)的联合密度函数为

f(x,y)={(1+xy)/4,∣x∣<1,∣y∣<10, 其它 f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} (1+x y) / 4, & |x|<1,|y|<1 \\ 0, & \text { 其它 } \end{array}\right.

(1)求Var⁡(X)\operatorname{Var}(X); (2)XX与YY相互独立吗? (3)X2X^{2}与Y2Y^{2}相互独立吗?(说明原因).


  1. 设随机变量 X1,X2,…,X2nX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{2 n} 相互独立，且皆服从 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 分布, 其中 σ2>0.\sigma^{2}>0 . 定义

Xˉ=12n∑j=12nXj,Y=∑i=1n(Xi+Xn+i−2Xˉ)2\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{j=1}^{2 n} X_{j}, \quad Y=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^{2}

求 EY\mathrm{E} Y.


  1. 设随机变量 XX 服从 (a,b)(a, b) 区间上的均匀分布，其中 0<a<b<∞.0<a<b<\infty . 在给定X=xX=x 的条件下， YY 的条件分布是参数为 xx 的指数分布，证明: XYX Y 服从参数为1 的指数分布.

  1. 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 为来自于正态总体 N(μ,1)N(\mu, 1) 的简单随机样本, 若要求参数 μ\mu 的置信系数为 0.95 的置信区间长度不超过 1,1, 求至少需要抽取的样本量 n.n .

  1. 设随机变量 XX 的概率密度函数为 f(x)=xα−1Γ(α)e−x,x>0,f(x)=\frac{x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} e^{-x}, x>0, 其中 α>1,Γ(t)\alpha>1, \Gamma(t) 为 Gamma 函数，满足 Γ(t+1)=tΓ(t),t>0.\Gamma(t+1)=t \Gamma(t), t>0 . 证明: P(0<X<2α)≥α−1α\mathrm{P}(0<X<2 \alpha) \geq \frac{\alpha-1}{\alpha}.

  1. 设 X1,…,X9X_{1}, \ldots, X_{9} 和 Y1,…,Y5Y_{1}, \ldots, Y_{5} 分别是从正态总体 N(0,4)N(0,4) 和 N(8,9)N(8,9) 取出的一组简 单样本(即独立同分布样本)，彼此相互独立, 记 Yˉ=∑j=15Yj/5,\bar{Y}=\sum_{j=1}^{5} Y_{j} / 5, 问

∑i=19Xi∑j=15(Yj−Yˉ)2\frac{\sum_{i=1}^{9} X_{i}}{\sqrt{\sum_{j=1}^{5}\left(Y_{j}-\bar{Y}\right)^{2}}}

服从什么分布?


二、(18分) 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 是从具有概率密度函数

f(x,θ)={2(θπ)1/2exp⁡(−θx2),x>00,x≤0f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll} 2\left(\frac{\theta}{\pi}\right)^{1 / 2} \exp \left(-\theta x^{2}\right), & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right.

的总体中抽出的一组样本. 用 C-R 不等式法证明 θ^=2n∑i=1nXi2\widehat{\theta}=\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} 是 1/θ1 / \theta 的最小方差无偏估计. (已知 Γ(1/2)=π)\Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi})


三、(24分) 设 X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 是抽自总体 XX 的一组样本，已知 XX 服从三点分布:

P(X=−1)=p,P(X=0)=1−3p,P(X=1)=2p\mathrm{P}(X=-1)=p, \quad \mathrm{P}(X=0)=1-3 p, \quad \mathrm{P}(X=1)=2 p

其中 0<p<1/30<p<1 / 3 为未知参数.

(1)(6分) 试分别用样本的一阶和二阶原点矩来估计未知参数 p;p ;

(2)(6分) 试求 pp 的极大似然估计;

(3)(6分) 证明这三个点估计都是无偏估计;

(4)(6分) 问这两个无偏估计，哪个更有效 (即哪个方差最小)?


四、(20分) 某厂用自动装瓶机装油，规定每瓶质量 500 克，标准差不超过 10 克, 每天定时检查. 某天抽取 9 瓶，测得平均质量为 499 克，标准差 16.03.16.03 . 假设瓶装酒的重量服从正态分布. 问

(1)(10分) 这台机器工作时是否有系统偏差;

(2)(10分) 该机器工作是否稳定?（取检验水平 α=0.05\alpha=0.05 )


附表:
满足条件 F(vβ)=1−βF\left(v_{\beta}\right)=1-\beta 的点 vβv_{\beta} 称为分布函数 FF 的上 β\beta 分位点，其中 0<β<1.0<\beta<1 .
设 uβ,χn2(β)u_{\beta}, \chi_{n}^{2}(\beta) 和 tn(β)t_{n}(\beta) 分别表示标准正态分布，自由度为 nn 的 χ2\chi^{2} -分布和自由度为 nn
的 tt 分布的上 β\beta 分位点.

u0.025=1.9600,u0.05=1.6449,u0.10=1.2832t8(0.025)=2.306,t9(0.025)=2.262,t8(0.05)=1.860,t9(0.05)=1.833χ82(0.025)=17.535,χ8(0.05)=15.507,χ92(0.025)=19.023,χ92(0.05)=16.919\begin{array}{l} u_{0.025}=1.9600, u_{0.05}=1.6449, u_{0.10}=1.2832 \\ t_{8}(0.025)=2.306, t_{9}(0.025)=2.262, t_{8}(0.05)=1.860, t_{9}(0.05)=1.833 \\ \chi_{8}^{2}(0.025)=17.535, \chi_{8}(0.05)=15.507, \chi_{9}^{2}(0.025)=19.023, \chi_{9}^{2}(0.05)=16.919 \end{array}