南开大学-432统计学-2017年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

  1. 已知 P(A)=P(B)=P(C)=14,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=116P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=\frac{1}{16}, 则 A,B,CA, B,C 中至少发生一个的概率是( ).

A. 58\frac{5}{8};

B. 38\frac{3}{8};

C. 34\frac{3}{4};

D. 14\frac{1}{4}.


  1. 若随机变 XX 的方差存在, 则 Var(X)=0{Var}(X)=0 的充要条件是( ).

A. XX几乎处处取某个常数aa;

B. EX=0EX=0;

C. EX2=0EX^2=0;

D. P(X=0)=1P\left(X = 0\right) = 1.


  1. 设随机变量X,YX, Y独立同分布, 且P(X=−1)=P(X=1)=12P\left( X=-1 \right) = P\left( X=1 \right) =\frac{1}{2}, 则P(X=Y)=P\left(X = Y\right) =( ).

A. 0;

B. 14\frac{1}{4};

C. 12\frac{1}{2};

D. 1.


  1. 已知随机变量 X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} 相互独立, 且 X1∼U(0,6),X2∼N(1,3),X3∼Exp⁡(3)X_{1} \sim U(0,6), X_{2} \sim N(1,3), X_{3} \sim \operatorname{Exp}(3), Y=X1−2X2+3X3,Y=X_{1}-2 X_{2}+3 X_{3}, 则 Var(Y)=16Var(Y)=16( ).

A. 16;

B. 283\frac{28}{3};

C. 18;

D. 10.


  1. 如果Xn⟶la,Yn⟶lYX_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} a, Y_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} Y, 则下列结论不一定正确的是( ).

A. Xn⟶paX_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} a;

B. XnYn⟶laYX_{n}Y_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} aY;

C. Xn+Yn⟶la+YX_{n}+Y_{n} \stackrel{l}{\longrightarrow} a+Y;

D. Yn⟶pYY_{n} \stackrel{p}{\longrightarrow} Y.


  1. 以下说法不正确的是( ).

A. 若接受原假设, 可能犯取伪错误;

B. 若拒绝原假设, 可能犯第一类错误;

C. 控制α\alpha是为了控制犯第二类错误的概率;

D. 增大样本容量nn不能同时降低犯两类错误的概率.


  1. 设 X1,X2,⋯XnX_1,X_2,\cdots X_n 是来自总体 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2) 的一组随机样本, 记xˉ=1n∑i=1nXi,s2=1n−1∑i=1n(Xi−xˉ)2\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_i}, s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left( X_i-\bar{x} \right) ^2}, 则下列结论正确的是 ( ).

A. s2s^2是σ2\sigma^2的最大似然估计;

B. (n−1)s2∼χ2(n−1)(n-1)s^2 \sim \chi^2(n-1);

C. ss是σ\sigma的无偏估计;

D. n(xˉ−μ)s∼t(n−1)\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{s} \sim t(n-1).


二、填空题(每题4分, 共32分)

  1. 甲乙两人独立的向同一目标射击, 甲击中目标的概率为0.5, 乙击中目标的概率为0.6, 则目标被击中的概率为 ________.

  1. 已知 E(X)=−2,E(X2)=5E(X)=-2, E\left(X^{2}\right)=5, 则 Var(1−3X)={Var}(1-3 X)= ________.

  1. 随机变量 XX 与 YY 相互独立同分布, 服从 N(μ,62)N\left(\mu, 6^{2}\right), 令 U=X+Y,V=X−YU=X+Y, V=X-Y, 则UU 与 VV 的相关系数为________.

  1. 设随机变量XX与YY 相互独立, X∼Exp⁡(λ),Y∼Exp⁡(μ)X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), Y \sim \operatorname{Exp}(\mu), 则P(X<Y)=P(X<Y)=________.

  1. 随机变量 X∼F(n,n)X \sim F(n, n), 则 P(X<1)=P(X<1)=________.

  1. 设 x1,…,xmx_{1}, \ldots, x_{m} 是来自 N(μ1,σ12)N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) 的样本, y1,…,yny_{1}, \ldots, y_{n} 是来自 N(μ2,σ22)N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right) 的样本, 且两个样本相互独立, xˉ\bar{x} 与 yˉ\bar{y} 分别是样本均值, 在 σ12\sigma_{1}^{2} 和 σ22\sigma_{2}^{2}, 已知时, μ1−μ2\mu_{1}-\mu_{2}的枢轴量为________.

  1. 若有来自总体密度函数为f(x)={λnΓ(n)xn−1e−λx,x>0;0,其他.f\left( x \right) =\begin{cases} \frac{\lambda ^n}{\Gamma \left( n \right)}x^{n-1}e^{-\lambda x},& x>0;\\ 0,& \text{其他}.\\ \end{cases}的随机样本x1,…,xmx_{1}, \ldots, x_{m}, 利用k(k<n)k(k<n)阶矩求出λ\lambda的矩估计是________.

三、解答题(90分)

1.(10分)设随机变量XX的密度函数为 p(x)={a+bx2,0≤x≤1;0, 其他 .p(x)=\left\{\begin{array}{cl}a+b x^{2}, & 0 \leq x \leq 1; \\ 0, & \text { 其他 }.\end{array}\right., 如果E(X)=23E(X)=\frac{2}{3}, 求aa 和 bb.


2.(10分)假设有10只同种电器元件, 其中有两只不合格品, 装配仪器时, 从这批元件中任取一只, 如是不合格品，则扔掉重新任取一只, 如仍是不合格品, 则扔掉再取一只, 试求在取到合格品之前, 已取出的不合格品数的数学期望.


3.(10分)设XX与YY的联合密度函数为

f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x;0, 其他 .f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}3 x, & 0<x<1,0<y<x; \\ 0, & \text { 其他 }.\end{array}\right.

试求Z=X−YZ=X-Y的密度函数.


4.(10分)设随机变量XX与YY独立同分布, 均服从参数为 λ\lambda的泊松分布，令U=2X+Y,V=2X−YU=2 X+Y, V=2 X-Y, 求 UU 和 VV 的相关系数 Corr(U,V){Corr}(U, V).


5.(10分)从均值为 μ\mu, 方差为 σ2\sigma^{2}的总体中, 分别抽取容量为 n1n_{1} 和 n2n_{2} 的两独立样本, xˉ1\bar{x}_{1} 和 xˉ2\bar{x}_{2} 分别是这两个样本的均值.试证, 对于任意常数 a,b(a+b=1)a, b (a+b=1),T=axˉ1+bxˉ2T=a \bar{x}_{1}+b \bar{x}_{2} 都是 μ\mu 的无偏估计, 并讨论当 a,ba, b取何值时, TT的方差达到最小.


6.(15分)设 x1,⋯ ,xnx_{1}, \cdots, x_{n} 为来自指数分布 E(λ1)E\left(\lambda_{1}\right) 的样本, Y1,⋯ ,YmY_{1}, \cdots, Y_{m} 为来自指数分布 E(λ2)E\left(\lambda_{2}\right) 的样本,且两组样本独立,其中 λ1,λ2\lambda_{1}, \lambda_{2} 是未知的正值参数.

(1)求假设 H0:λ1=λ2H_{0}: \lambda_{1}=\lambda_{2} \quad vs H1:λ1≠λ2\quad H_{1}: \lambda_{1} \neq \lambda_{2} 的广义似然比检验;

(2)试证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值T=∑i=1nXi∑j=1mYjT = \frac{\sum_{i=1}^n{X_i}}{\sum_{j=1}^m{Y_j}};

(3)给出原假设成立时, TT的分布.


7.(14分)设总体概率密度函数如下: f(x;θ,μ)=1θe−x−μθ,x>μ,θ>0.x1,x2,⋯ ,xnf(x ; \theta, \mu)=\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}, x>\mu, \theta>0. x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}是来自该总体的随机样本, 求未知参数的极大似然估计.


8.(15分)设 x1,x2x_{1}, x_{2} 独立同分布, 其共同的密度函数为 f(x;θ)=3x2θ3,0<x<θ,θ>0f(x ; \theta)=\frac{3 x^{2}}{\theta^{3}}, 0<x<\theta, \theta>0 .

(1)证明:T1=23(x1+x2)T_{1}=\frac{2}{3}\left(x_{1}+x_{2}\right) 和 T2=76max⁡{x1,x2}T_{2}=\frac{7}{6} \max \left\{x_{1}, x_{2}\right\} 都是 θ\theta 的无偏估计;

(2)计算 T1T_{1} 和 T2T_{2} 的均方误差并进行比较.