清华大学-432统计学-2017年

一、(20分) 证明函数 f(x,y)=Ae−(ax2+2bxy+cy2)f(x, y)=A e^{-\left(a x^{2}+2 b x y+c y^{2}\right)} 是密度函数的充要条件是:

a>0,c>0,b2<ac 且 A=ac−b2π.a>0, c>0, b^{2}<a c \text { 且 } A=\frac{\sqrt{a c-b^{2}}}{\pi}.


二、(40分) 已知简单随机样本 x1,x2,⋯ ,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} i.i.d.∼U(0,θ)\sim U(0, \theta) .

(1)(10分) 证明 x(n)x_{(n)} 是充分完备统计量;

(2)(10分) 证明存在随机变量 XX 使得 n(θ−x(n))→dX,n\left(\theta-x_{(n)}\right) \stackrel{d}{\rightarrow} X, 并求 XX 的分布;

(3)(10分) 证明 x(n)x_{(n)} 是 θ\theta 的最大似然估计;

(4)(10分) x(n)x_{(n)} 是否为 θ\theta 的无偏估计? 是否为 θ\theta 的弱相合估计? 并说明理由.


三、(40分) 已知简单随机样本 x1,x2,⋯ ,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} iid ∼b(1,p)0<p<1\sim b(1, p) 0<p<1 . 参数 pp 的先验分布为贝塔分 布 Be(α,β)B e(\alpha, \beta), 则

(1)(5分) 求 pp 的最大似然估计 p^L\hat{p}_{L};

(2)(10分) 求 pp 的贝叶斯估计 p^B\hat{p}_{B} ;

(3)(10分) 求 p^L\hat{p}_{L} 与 p^B\hat{p}_{B} 的均方误差 MSE⁡(p^L)\operatorname{MSE}\left(\widehat{p}_{L}\right) 与 MSE⁡(p^B)\operatorname{MSE}\left(\widehat{p}_{B}\right) ;

(4)(10分) 试确定 α\alpha 与 β\beta 的值使得 MSE(p^B)M S E\left(\widehat{p}_{B}\right) 与 pp 无关;

(5)(5分) 在(4)的基础上求出 MSE⁡(p^B)\operatorname{MSE}\left(\widehat{p}_{B}\right) 并比较 MSE⁡(p^L)\operatorname{MSE}\left(\widehat{p}_{L}\right) 与 MSE⁡(p^B)\operatorname{MSE}\left(\widehat{p}_{B}\right) 的大小.


四、(20分) 已知总体 X∼N(μ,σ2),X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), 其中参数 μ\mu 与 σ2\sigma^{2} 未知 ,x1,x2,⋯ ,xn, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 是在其中抽取的样本, 试确定 aa 与 bb 的关系, 使得 σ2\sigma^{2} 的 1−α1-\alpha 置信区间 [nS2a,nS2b]\left[\frac{n S^{2}}{a}, \frac{n S^{2}}{b}\right] 最短, 其中

S2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2,xˉ=1n∑i=1nxi.S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}, \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}.


五、(30分) 通过实验观察得出 nn 个样本点 (x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xn,yn)\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right). 假设 XX 与 YY 之间存在线 性关系, 并有统计模型 Yi=β0+β1Xi+εi;i=1,2,⋯n,Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} X_{i}+\varepsilon_{i} ; i=1,2, \cdots n, 其中 ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} i.i.d.∼N(0,σ2)\sim N\left(0, \sigma^{2}\right). β0,β1,σ2\beta_{0}, \beta_{1},\sigma^{2} 为参数,XiX_{i} 为一般变量, i=1,2,⋯ni=1,2, \cdots n . 则 :

(1)(10分) 求 β0,β1,σ2\beta_{0}, \beta_{1}, \sigma^{2} 的最大似然估计 β^0,β^1,σ^2\widehat{\beta}_{0}, \widehat{\beta}_{1}, \widehat{\sigma}^{2};

(2)(10分) 上述 σ^2\hat{\sigma}^{2} 是否为 σ2\sigma^{2} 的无偏估计? 若是,请说明理由; 若不是,试构造 σ2\sigma^{2} 的无偏估计;

(3)(10分) 对线性回归方程的显著性作出假设 H0:β1=0H_{0}: \beta_{1}=0 \quad vs H1:β1≠0,H_{1}: \beta_{1} \neq 0, 给出你的检验标准.