北京大学数院-431金融学综合-2017年

一、(10分) 事件$A , B$ 独立, $P(A-B)=\frac{1}{4}, P(B-A)=\frac{1}{6},$ 求 $P(A), P(B)$.

二、(10分) 随机变量 $X, U_{1}, U_{2},$ i.i.d. $\sim N(0,1), W_{i}=a_{i} X+\sqrt{1-a_{i}^{2}} U_{i}, i=1,2,$ 求 $\left(W_{1}, W_{2}\right)$ 的联合密度.

三、(10分) $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n},$ i.i.d. $\sim \operatorname{Exp}(1)$,

(1) 求 $D\left(e^{-Y_{1}}+Y_{1}\right)$;

(2) 证明 $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}$ 渐近服从正态分布.

四、(10分) 每吨大米销售成功利润为 6 元,销售失败损失 $a$ 元,

(1)若每天进货 $y$ 吨，写出利润表达式;

(2) 若只有一个顾客,其需求 $X_{1} \sim U(0,1),$ 问应该进货几吨;

(3) 若还有一个顾客,其需求 $X_{2}$ 与 $X_{1}$ 独立同分布, 求$(X_1,X_2)$的联合密度;

(4) 在有两个顾客的情况下, 求总需求的概率分布.

五、(10分) $P_{A B}$ 表示债券评级从 $A$ 转到 $B$ 的概率, 已知

$$\left[\begin{array}{lll}P_{A A} & P_{A B} & P_{A D} \\ P_{B A} & P_{B B} & P_{B D} \\ P_{D A} & P_{D B} & P_{D D}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.9 & 0.05 & 0.05 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$

(1) 已知债券第 1 次、第 2 次评级为 A, 第 4 次、第 5 次为 $\mathrm{B},$ 求第 3 次评级的概率分布;

(2) 记 $T=\min \left\{n|\text{第} n \text{次评级为}D \right\}$, 求 $E(T | \text{第一次为 } B )$.

六、(10分) 随机变量 $X$ 的分布列为

$$P\{X=-1\}=p, \quad P\{X=k\}=(1-p)^{2} p^{k}, \quad k=0,1, \ldots,$$

证明:

(1) $U(X)$ 是零的无偏估计当且仅当 $\exists a, U(k)=a k, k=-1,0,1, \ldots$;

(2) $I_{[X=0]}$ 是 $(1-p)^{2}$ 的 UMVUE.

七、(10分) 有来自下列总体的$n$个随机样本, 求对应的 MLE:

(1) $f(x ; \theta)=e^{-(x-\theta)} I[x>\theta]$;

(2) $f(x ; \theta)=\theta(1-x)^{\theta-1}, \theta>0, \quad 0<x<1 ;$

(3) $N\left(\theta, \theta^{2}\right), \theta>0$ .

八、(10分) 总体 $X \sim N\left(\mu, 4^{2}\right), x_{1}, \ldots, x_{100}$ 是一组简单随机样本,

(1) 求$H_{0}: \mu=3$ vs $H_{1}: \mu \neq 3$ 的否定域, $\alpha=0.1$;

(2) $\bar{x}=5,$ 求 $p$ 值;

(3) $\mu=2$ 时该检验法的功效.

九、(10分) 设某电子产品的寿命服从如下分布:

$$F(x ; \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}, & x \geq \alpha \\ 0, & x<\alpha \end{array}\right.$$

现测得$n$个该电子产品的寿命为$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n},$ 试求未知参数$\alpha, \beta$的矩估计和极大似然估计.