复旦大学-432统计学-2017年

一、(30分) 名词解释

(1)(5分) 样本均值、样本方差;

(2)(5分) 统计量;

(3)(5分) 次序统计量;

(4)(5分) 中位数、样本中位数;

(5)(5分) 经验分布函数;

(6)(5分) 无偏估计.


二、(20分) X1,X2,X_{1}, X_{2}, i.i.d ∼Exp⁡(1),\sim \operatorname{Exp}(1), 求

(1)(10分) X1X1+X2\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}的密度函数;

(2)(10分) X(2)−X(1)X_{(2)}-X_{(1)} 的密度函数.


三、(20分) X1,X2X_{1}, X_{2} i.i.d.∼N(0,1),\sim N(0,1), 求X1X2\frac{X_{1}}{X_{2}}的概率分布.


四、(20分) X1,X2,…,XnX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} i.i.d.∼F(x),\sim F(x), 记Yn(x)=∑i=1nI[Xi≤x],Y_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n} I\left[X_{i} \leq x\right], 求lim⁡n→∞Yn(x)n\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{Y_{n}(x)}{n}.


五、(20分) X0,X1,⋯ ,X2n,X_{0}, X_{1}, \cdots, X_{2 n}, i.i.d ∼U(0,1),X(0),X(1),⋯ ,X(2n)\sim U(0,1), \quad X_{(0)}, X_{(1)}, \cdots, X_{(2 n)}为对应的次序统计量, 试证明X(n)→P12X_{(n)} \stackrel{P}{\rightarrow} \frac{1}{2}.


六、(20分) 已知连续型随机变量XX的期望EXE X存在, f(t)=E∣X−t∣f(t)=E|X-t|在 t=mt=m时取极小值, 证明 P(X≤m)=12P(X \leq m)=\frac{1}{2}.


七、(20分) X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} i.i.d ∼N(0,1),\sim N(0,1), 求

(1)(10分) P(X1>X2>X3)P\left(X_{1}>X_{2}>X_{3}\right);

(2)(10分) P(X1>X2,X1>X3)P\left(X_{1}>X_{2}, X_{1}>X_{3}\right).