中山大学-432统计学-2017年

一、选择题(每小题3分, 共60分)

  1. 在概率的公理化结构中, 把概率所满足的条件中的可列可加性换成有限可加性, 则下列概率的 性质中不成立的是 ( )
    (A) P(∅)=0P(\emptyset)=0
    (B) 对任何事件 A,P(Aˉ)=1−P(A)A, \mathrm{P}(\bar{A})=1-\mathrm{P}(A)
    (C) SnS_{n} 是一个单调不减的集序列, lim⁡n→∞P(Sn)=P(lim⁡n→∞Sn)\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(S_{n}\right)=\mathrm{P}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\right)
    (D) P(AB)≥P(A)+P(B)−1\mathrm{P}(A B) \geq \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-1

  1. 对任意两个随机事件 AA 与 BB, 必有 P(A∩Bˉ)=(\mathrm{P}(A \cap \bar{B})=( )
    (A) P(A)−P(B)\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(B)
    (B) P(A)−P(B)+P(AB)\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A B)
    (C) P(A)+P(B)\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)
    (D) P(A)−P(AB)\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(A B)

  1. 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只, 其中恰有一双配对的概率是()
    (A) 2/32 / 3
    (B) 4/74 / 7
    (C) 2/72 / 7
    (D) 1/31 / 3

  1. 如果你的水平略高于对手, 为保证比赛的胜利，你最期望以下哪种比赛规则()
    (A) 一局定输赢
    (B) 三局两胜
    (C) 五局三胜
    (D) 不能确定

  1. 随机变量 X,YX, Y 均只能取 0,1 两个值。下面哪个选项不是与 “它们的相关系数为 0 ” 等价 ()
    (A) 随机变量 X,YX, Y 相互独立
    (B) P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)\mathrm{P}(X=1, Y=0)=\mathrm{P}(X=1) \mathrm{P}(Y=0)
    (C) P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)\mathrm{P}(X=0, Y=0)=\mathrm{P}(X=0) \mathrm{P}(Y=0)
    (D) E(XY)=0\mathrm{E}(X Y)=0

  1. 有两条蚕, 每条蚕的产卵数相互独立并服从泊松分布, 参数分别为 λ1\lambda_{1} 和 λ2\lambda_{2} 。每个卵孵化成小蚕的 概率为 p(0<p<1)p(0<p<1), 且 “每个卵能孵化为小蚕与否” 相互独立。记两条蚕养活的小蚕总数为 YY, 则 (1) YY 服从的分布; (2)两条蚕总共能孵化小蚕数的期望分别是()
    (A) 泊松分布, (λ1+λ2)p\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) p
    (B) 泊松分布, λ1+λ2\lambda_{1}+\lambda_{2}
    (C) 二项分布, (λ1+λ2)p\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) p
    (D) 二项分布, λ1+λ2\lambda_{1}+\lambda_{2}

  1. 甲盒中有 4 个白球, 1 个黑球; 乙盒中有 4 个白球, 3 个黑球。从甲盒中任取一球放入乙盒, 然后 再从乙盒中任取一球。则(1)在乙盒中取到的是白球的概率; (2)如果已知在乙盒中取到的是白球, 从 甲盒中取出放入乙盒中的也是白球的概率分别是()
    (A) 1/2,5/61 / 2,5 / 6
    (B) 3/5,5/63 / 5,5 / 6
    (C) 1/2,4/51 / 2,4 / 5
    (D) 3/5,4/53 / 5,4 / 5

  1. 英国《观察家报》和 Opinium 公司 2016 年 6 月初进行的联合民意调查显示, 40%40 \% 英国民众支持留 在欧盟。考虑一个由 600 名英国民众组成的随机样本, 以 XX 表示这 600 人中支持留在欧盟的人数。记 Φ(x)\Phi(x) 是标准正态分布的分布函数, 则 222<X<258222<X<258 的概率大约是 ()
    (A) 2Φ(1.5)−12 \Phi(1.5)-1
    (B) 2Φ(1.5)2 \Phi(1.5)
    (C) 2Φ(2)2 \Phi(2)
    (D) 2Φ(2)−12 \Phi(2)-1

  1. 设随机变量序列 Xn几X_{n} 几 乎处处收敛到随机变量 XX, 则下列说法不正确的是 ()
    (A) XnX_{n} 依概率收敛到 XX
    (B) XnX_{n} 依分布收敛到 XX
    (C) XnX_{n} 二阶矩收敛到 XX
    (D) Xn2X_{n}^{2} 几乎处处收敛到 X2X^{2}

  1. 设 XX 和 YY 均服从标准正态分布, 则 ()
    (A) X−YX-Y 服从正态分布
    (B) X2+Y2X^{2}+Y^{2} 服从卡方分布
    (C) Y∣XY \mid X 服从正态分布
    (D) X2X^{2} 服从卡方分布

  1. 设 X∼χ2(1),Y∼χ2(n)X \sim \chi^{2}(1), Y \sim \chi^{2}(n), 则 F=nX/YF=n X / Y 的分布是 ()
    (A) t(n)t(n)
    (B) F(1,n)F(1, n)
    (C) F(n,1)F(n, 1)
    (D) 不能确定

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自标准正态分布 N(0,1)N(0,1) 的简单随机样本。令 Xˉ=∑i=1nXi/n\bar{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} / n 为样本均值, S2=∑i=1n(Xi−Xˉ)2/(n−1)S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} /(n-1) 为样本方差, 则 ()
    (A) nXˉ2S2∼F(1,n−1)\frac{n \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)
    (B) nXˉ2∼χ2(n)n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(n)
    (C) nS2∼χ2(n−1)n S^{2} \sim \chi^{2}(n-1)
    (D) (n−1)S2∼χ2(n)(n-1) S^{2} \sim \chi^{2}(n)

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自均匀分布 U(1−θ,1+θ)U(1-\theta, 1+\theta) 的简单随机样本, 其顺序统计量记为 X(1),⋯ ,X(n)X_{(1)}, \cdots, X_{(n)}, 则 θ\theta 的充分统计量为 ()
    (A) X(1)X_{(1)}
    (B) X(n)X_{(n)}
    (C) max⁡i{∣Xi−1∣}\max _{i}\left\{\left|X_{i}-1\right|\right\}
    (D) X(n)−X(1)X_{(n)}-X_{(1)}

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自指数分布 Exp⁡(λ)\operatorname{Exp}(\lambda) 的简单随机样本, 密度函数为 f(x;λ)=λe−λx,x>0f(x ; \lambda)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0 。令 T=∑i=1nXi,Q=∑i=1n(Xi−Xˉ)2T=\sum_{i=1}^{n} X_{i}, Q=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, 则 ()
    (A) TT 与 Q/T2Q / T^{2} 独立
    (B) TT 与 QQ 独立
    (C) TT 服从参数为 nλn \lambda 的指数分布
    (D) TT 服从参数为 λ/n\lambda / n 的指数分布

  1. 设样本 X1,⋯ ,Xn(n≥2)X_{1}, \cdots, X_{n}(n \geq 2) 来自参数为 θ(>0)\theta(>0) 的泊松 (Poisson) 分布, 概率分布列为 f(x;θ)=f(x ; \theta)= θxe−θx!,x=0,1,2,…\frac{\theta^{x} e^{-\theta}}{x !}, x=0,1,2, \ldots 。令 Xˉ=∑i=1nXi/n\bar{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} / n 为样本均值, S2=∑i=1n(Xi−Xˉ)2/(n−1)S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} /(n-1) 为样本方差, 若 Y=aXˉ+(1−a)S2,0≤a≤1Y=a \bar{X}+(1-a) S^{2}, 0 \leq a \leq 1 为 θ\theta 的无偏估计, 则 ()
    (A) a=0a=0
    (B) a=1a=1
    (C) a=0.5a=0.5
    (D) 以上皆可

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自均值为 0 , 方差为 σ2\sigma^{2} 的总体的简单随机样本, 令 Y=∑i=1nXi2,Q=Y=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, Q= ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, 则下列说法正确的是 ()
    (A) Q/nQ / n 是 σ2\sigma^{2} 的最大似然估计
    (B) Y/nY / n 是 σ2\sigma^{2} 的最大似然估计
    (C) Q/nQ / n 是 σ2\sigma^{2} 的无偏估计
    (D) Y/nY / n 是 σ2\sigma^{2} 的无偏估计

  1. 设 X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} 为来自均值为 μ\mu 的总体的简单随机样本, 则下列 μ\mu 的估计量中方差最小的是 ()
    (A) 14X1+12X2+14X3\frac{1}{4} X_{1}+\frac{1}{2} X_{2}+\frac{1}{4} X_{3}
    (B) 45X1+25X2−15X3\frac{4}{5} X_{1}+\frac{2}{5} X_{2}-\frac{1}{5} X_{3}
    (C) 23X1−13X2+23X3\frac{2}{3} X_{1}-\frac{1}{3} X_{2}+\frac{2}{3} X_{3}
    (D) 12X1+13X2+16X3\frac{1}{2} X_{1}+\frac{1}{3} X_{2}+\frac{1}{6} X_{3}

  1. 设 X1,⋯ ,X5X_{1}, \cdots, X_{5} 为来自均匀分布 U(0,θ)U(0, \theta) 的简单随机样本, 令 Y1=min⁡{Xi},Y5=max⁡{Xi}Y_{1}=\min \left\{X_{i}\right\}, Y_{5}=\max \left\{X_{i}\right\}, 则 θ\theta 的 90%90 \% 置信区间为()
    (A) (Y10.955,Y10.055)\left(\frac{Y_{1}}{\sqrt[5]{0.95}}, \frac{Y_{1}}{\sqrt[5]{0.05}}\right)
    (B) (Y50.955,Y50.055)\left(\frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.95}}, \frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.05}}\right)
    (C) (Y10.95,Y50.95)\left(\begin{array}{cc}\frac{Y_{1}}{\sqrt[5]{0.9}}, & \frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.9}}\end{array}\right)
    (D) (Y11−0.15,Y50.15)\left(\frac{Y_{1}}{1-\sqrt[5]{0.1}}, \frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.1}}\right)

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自正态总体 N(μ,1)N(\mu, 1) 的简单随机样本, 令 Xˉ=∑i=1nXi/n\bar{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} / n 为样本均值。针对假设 H0:μ≤0\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 0 v.s. H1:μ>0\mathrm{H}_{1}: \mu>0, 显著性水平 α=0.05\alpha=0.05, 拒绝域为( )
    (A) nXˉ<−1.96\sqrt{n} \bar{X}<-1.96
    (B) nXˉ>1.96\sqrt{n} \bar{X}>1.96
    (C) nXˉ<−1.64\sqrt{n} \bar{X}<-1.64
    (D) nXˉ>1.64\sqrt{n} \bar{X}>1.64

  1. 线性模型 Yi=aXi+ei,i=1,…,n,ei,i=1,…,nY_{i}=a X_{i}+e_{i}, i=1, \ldots, n, e_{i}, i=1, \ldots, n 独立同分布于正态分布 N(0,σ2)N\left(0, \sigma^{2}\right) 。令 Xˉ=∑i=1nXi/n,Yˉ=∑i=1nYi/n\bar{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} / n, \bar{Y}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i} / n 则 aa 的最大似然估计是 ()
    (A) Xˉ\bar{X}
    (B) Yˉ\bar{Y}
    (C) ∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}
    (D) ∑i=1nxiYi∑i=1nxi2\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} Y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}

二、(24 分) 设随机向量 (X,Y)(X, Y) 的联合密度为

f(x,y)=12(x+y)e−(x+y),x>0,y>0.f\left( x,y \right) =\frac{1}{2}\left( x+y \right) e^{-\left( x+y \right)},x>0,y>0.

(1) (8 分) 求 X=0.5X=0.5 时, YY 的条件密度 f(y∣x=0.5)f(y \mid x=0.5) 。
(2) (8 分) 求 XX 和 YY 的相关系数 ρ\rho 。
(3) (8 分) 求 Z=X+YZ=X+Y 的密度函数。


三、 (24 分) 设 X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_n 来自以下总体, 其密度函数为

f(x;α,β)={αxα−1βα,0<x≤β,0, 其他. f(x ; \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha}, & 0<x \leq \beta, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.

其中 α(>0)\alpha(>0) 和 β(>0)\beta(>0) 为末知参数。
(1) (6 分) 求总体的期望以及方差。
(2) (8 分) 写出 α\alpha 和 β\beta 的充分统计量。
(3) (10 分) 求 α\alpha 和 β\beta 的最大似然估计量。


四、(24 分) 设样本 X1,⋯ ,Xn(n≥2)X_1, \cdots, X_n(n \geq 2) 来自参数为 θ(>0)\theta(>0) 的泊松 (Poisson) 分布, 概率分布列为 f(x;θ)=θxe−θx!,x=0,1,2,…f(x ; \theta)=\frac{\theta^x e^{-\theta}}{x !}, x=0,1,2, \ldots 令 g(θ)=e−θ,Y=I(X1=0)g(\theta)=e^{-\theta}, Y=\mathrm{I}\left(X_1=0\right), 其中 I\mathrm{I} 为示性函数。
(1) (6 分) 求 g(θ)g(\theta) 的最大似然估计量。
(2) (8 分) 证明 YY 是 g(θ)g(\theta) 的无偏估计量。
(3) (10 分) 求 g(θ)g(\theta) 的最小方差无偏估计量。


五、(18 分)设 X1,⋯ ,X9X_1, \cdots, X_9 为来自正态总体 N(μ1,1)N\left(\mu_1, 1\right) 的简单随机样本, Y1,⋯ ,Y16Y_1, \cdots, Y_{16} 为来自正态总体 N(μ2,1)N\left(\mu_2, 1\right) 的简单随机样本, 且两样本独立。针对假设 H0:μ1=μ2=0\mathrm{H}_0: \mu_1=\mu_2=0 v.s. H1:μ1≠0\mathrm{H}_1: \mu_1 \neq 0 或 μ2≠0\mu_2 \neq 0 。
(1) (8 分) 若给出拒绝域为 C={∣Xˉ−Yˉ∣>b}C=\{|\bar{X}-\bar{Y}|>b\}, 求常数 bb, 使其显著性水平 α=0.05\alpha=0.05 。
(2) (10 分) 给定显著性水平 α=0.05\alpha=0.05, 请构建似然比检验。要求: 写出似然比统计量, 并把它 表示为一个服从 χ2\chi^2 分布的统计量 TT 的函数形式，并以 TT 的形式给出拒绝域。