北大叉院-849统计学-2017年

一、(15分) XX 以等概率取 −1,0,1-1,0,1, Y∼U(0,1),Y \sim U(0,1), 相互独立, 求 X+YX+Y 的概率密度.

二、(15分) (X,Y)(X, Y) 服从 D={0<x<1,0<y<x}D=\{0<x<1,0<y<x\} 上的均匀分布, 求 ρXY\rho_{X Y}.


三、(15分) 长为 1 的木棒分为 3 段，求能构成三角形的概率.


四、(15分) (Xi,Yi)\left(X_{i}, Y_{i}\right) 满足 Yi=a+bXi+εi,εiY_{i}=a+b X_{i}+\varepsilon_{i}, \quad \varepsilon_{i} i.i.d. ∼N(0,σ2),\sim N\left(0, \sigma^{2}\right), 其中a,b,σa, b, \sigma 未知, 现观测到一组新数据 X0,X_{0}, 求 Y0Y_{0} 的 95%置信区间.


五、(15分) 总体 XX 的密度函数 f(x)f(x) 光滑, 且任意 x1,x2x_{1}, x_{2} 有 ∣f(x1)−f(x2)∣≤L∣x1−x2∣,L\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right|, L 为已知常数, 定义 f^(x0)=1Nλ∑i=1NK(x0−xiλ),\hat{f}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{N \lambda} \sum_{i=1}^{N} K\left(\frac{x_{0}-x_{i}}{\lambda}\right), 其中 M≥K(t)≥0M \geq K(t) \geq 0, 且在勒贝格积分意义下,

∫−∞+∞K(t)dt=1,∫−∞+∞tK(t)dt=0,∫−∞+∞t2K(t)dt=σk2<∞,\int_{-\infty}^{+\infty} K(t) d t=1, \int_{-\infty}^{+\infty} t K(t) d t=0, \int_{-\infty}^{+\infty} t^{2} K(t) d t=\sigma_{k}^{2}<\infty,

这里 MM 和 σk2\sigma_{k}^{2} 均为已知常数, 证明:

(1) (5 分) ∣Ef^(x0)−f(x0)∣≤c1λ\left|E \hat{f}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right| \leq c_{1} \lambda;

(2) (5 分) Var⁡[f^(x0)]≤c2Nλ2\operatorname{Var}[\hat{f}\left(x_{0}\right)] \leq \frac{c_{2}}{N \lambda^{2}};

(3) (5 分) 选择合适的 λ,\lambda, 使 MSE⁡[f^(x0)]≤c3N−12\operatorname{MSE}[ \hat{f}\left(x_{0}\right)] \leq c_{3} N^{-\frac{1}{2}}.


六、(20分) 总体 X∼U(0,θ),X \sim U(0, \theta), 随机样本 x1,x2,⋯ ,xn,x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, 求:

(1)(5分) θ\theta 的矩估计 θ^\hat{\theta};

(2)(5分) θ\theta 的 MLE⁡θ^1\operatorname{MLE} \hat{\theta}_{1};

(3)(5分) 讨论 θ^\hat{\theta} 的相合性;

(4)(5分) 讨论 θ^1\hat{\theta}_{1} 的无偏性与相合性.

七、(15分) 总体 X∼B(1,p1),Y∼B(1,p2),X \sim B\left(1, p_{1}\right), \quad Y \sim B\left(1, p_{2}\right), 随机样本分别为 nn 个与 mm 个（足够大）, 构造假设检验 H0:p1≥p2H_{0}: p_{1} \geq p_{2} 使拒绝原假设的概率接近 1−α1-\alpha.


八、(10分) X∼N(μ,4),X \sim N(\mu, 4), 样本数为 n,n, 求 nn 的取值范围使得 μ\mu 的 95%置信区间长度不大于0.01.


九、(15分) Xi∼N(μ,σ2),i=1,2,…,n,X_{i} \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), \quad i=1,2, \ldots, n, 服从多元正态, 任意两个样本相关系数皆为 ρ\rho,

(1)(5分) 证明 ρ≥−1n−1;\rho \geq-\frac{1}{n-1} ;

(2)(5分) 求 μ\mu 的矩估计 μ^\hat{\mu};

(3)(5分) 讨论 μ^\hat{\mu} 的无偏性、相合性.


十、(15分) 一个人出生在任意月份的概率为 112\frac{1}{12}, 现抽取 100 人. 先从装有 5 个红球与 3 个黑球的袋中抽球, 若抽中红球, 回答: 出生日是否在 7.1 之前; 若抽中黑球, 回答: 是否是同性恋. 最后统计到回答“是”的人为 35 人, 求人群中的同性恋比例.