北京大学-431金融学综合-2017年-解析

北京大学-431金融学综合-2017年

2017统计部分解析

一、(15分) 公司甲同时在大陆A 股及香港H 股上市，现有它在A 股市场和H 股市场上过去一年每天的回报预测值 $X_i, Y_i$。

（1）请给出两种检验方法，检验该股票在A 股和H 股上的回报均值是否相等，需要给出具体的计算过程。

（2）讨论这两种检验隐含的假设条件。根据你的假设条件讨论，你认为两种检验有无差异? 如果有, 哪种检验更合理？

Solution:

(1) 使用t检验和Wilcoxon秩和检验

• t检验：假设$X_i$和$Y_i$都是独立同分布的正态随机变量，且方差未知但相等。则可以用以下公式计算$t$统计量：

$$t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}$$

其中，$\bar{X}$和$\bar{Y}$分别是$X_i$和$Y_i$的样本均值，$n$和$m$分别是$X_i$和$Y_i$的样本大小，$S_p$是合并样本标准差，计算公式为：

$$S_w=\sqrt{\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}}$$

其中，$S_X^2$和$S_Y^2$分别是$X_i$和$Y_i$的样本方差。然后根据自由度为$n+m-2$的$t$分布表，查找相应的临界值，判断t统计量是否落在拒绝域内。如果是，则拒绝原假设，即认为两个回报均值不相等；如果否，则不能拒绝原假设，即认为两个回报均值没有显著差异。

• Wilcoxon秩和检验：不需要假设$X_i$和$Y_i$服从正态分布，只需要假设它们都是连续随机变量，且有相同的形状。则可以用以下步骤进行检验：

  • 将两个样本合并，并按照从小到大的顺序排列，给每个观测值一个秩（即排名），如果有相同的观测值，则给它们平均秩。
  • 计算两个样本的秩和，即将每个样本中的观测值对应的秩相加，得到$R_X$和$R_Y$。
  • 计算检验统计量：

  $$Z=\frac{R_X-\frac{n(n+m+1)}{2}}{\sqrt{\frac{n m(n+m+1)}{12}}}$$

  • 根据标准正态分布表，查找相应的临界值，判断$Z$统计量是否落在拒绝域内。如果是，则拒绝原假设，即认为两个回报均值不相等；如果否，则不能拒绝原假设，即认为两个回报均值没有显著差异。

（2）这两种检验隐含的假设条件有以下区别：

• $t$检验要求两个样本都服从正态分布，而Wilcoxon秩和检验不需要这个假设。这意味着如果两个样本存在偏度或峰度等非正态特征，$t$检验可能会失效或不准确，而Wilcoxon秩和检验则更稳健。
• $t$检验要求两个样本的方差相等，而Wilcoxon秩和检验只要求两个样本有相同的形状。这意味着如果两个样本存在方差齐性问题，$t$检验可能会受到影响，而Wilcoxon秩和检验则更灵活。
• $t$检验利用了两个样本的具体数值信息，而Wilcoxon秩和检验只利用了两个样本的相对顺序信息。这意味着如果两个样本的数值信息有意义，$t$检验可能会更有效，而Wilcoxon秩和检验则可能会损失一些信息。

综上所述，两种检验有一定的差异，哪种检验更合理取决于两个样本的实际分布情况和研究目的。一般来说，如果两个样本都近似正态且方差相等，$t$检验是一个合理的选择；如果两个样本不服从正态分布或方差不等，Wilcoxon秩和检验是一个更保守的选择。

二、（15 分）给定模型 $\ln(y) = \alpha + \beta \ln(x) + \varepsilon$，和一组观测值 $(x_i,y_i), i= 1,2,\cdots, n$.

（1）请给出 $\beta$ 的经济学含义。

（2）请给出 $\beta$ 的一个估计。

（3）验证你上面给的估计的无偏性（要给出相应的假设条件）

Solution:

（1）$\beta$ 的经济学含义是 $\ln(x)$ 的百分比变化引起的 $\ln(y)$ 的百分比变化，也就是 $\ln(x)$ 和 $\ln(y)$ 之间的弹性。例如，如果 $\beta = 0.5$，那么当 $\ln(x)$ 增加 1%，$\ln(y)$ 就会增加 0.5%。

（2）$\beta$ 的一个估计是最小二乘估计，即使得残差平方和最小的值。残差平方和的定义为

$$S(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^n (\varepsilon_i)^2 = \sum_{i=1}^n (\ln(y_i) - \alpha - \beta \ln(x_i))^2$$

求解以下方程组，得到最小二乘估计：

$$\begin{cases} \frac{\partial S}{\partial \alpha} = -2\sum_{i=1}^n (\ln(y_i) - \alpha - \beta \ln(x_i)) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial \beta} = -2\sum_{i=1}^n (\ln(y_i) - \alpha - \beta \ln(x_i))\ln(x_i) = 0 \end{cases}$$

解得：

$$\hat{\beta} = \frac{n\sum_{i=1}^n (\ln(x_i)\ln(y_i)) - (\sum_{i=1}^n \ln(x_i))(\sum_{i=1}^n \ln(y_i))}{n\sum_{i=1}^n (\ln(x_i))^2 - (\sum_{i=1}^n \ln(x_i))^2}$$

（3）为了验证 $\hat{\beta}$ 的无偏性，需要假设以下条件：

• $\mathbb{E}(\varepsilon_i) = 0$，即误差项的期望为零。
• $\mathbb{E}(\varepsilon_i^2) = \sigma^2$，即误差项的方差为常数。
• $\mathbb{E}(\varepsilon_i\varepsilon_j) = 0, i\neq j$，即不同观测值的误差项之间没有相关性。

在这些假设下，可以证明：

$$\mathbb{E}(\hat{\beta}) = \mathbb{E}\left(\frac{n\sum_{i=1}^n (\ln(x_i)\ln(y_i)) - (\sum_{i=1}^n \ln(x_i))(\sum_{i=1}^n \ln(y_i))}{n\sum_{i=1}^n (\ln(x_i))^2 - (\sum_{i=1}^n \ln(x_i))^2}\right)$$

由于 $\ln(y_i) = \alpha + \beta \ln(x_i) + \varepsilon_i$，代入上式得：

$$\begin{aligned} \mathbb{E} (\hat{\beta})&=\mathbb{E} \left( \frac{n\sum_{i=1}^n{(}\ln\mathrm{(}x_i)(\alpha +\beta \ln\mathrm{(}x_i)+\varepsilon _i))-(\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i))(\sum_{i=1}^n{(}\alpha +\beta \ln\mathrm{(}x_i)+\varepsilon _i))}{n\sum_{i=1}^n{(}\ln\mathrm{(}x_i))^2-(\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i))^2} \right) \\ &=\frac{n\sum_{i=1}^n{(}\ln\mathrm{(}x_i)(\alpha +\beta \ln\mathrm{(}x_i)))-(\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i))(\sum_{i=1}^n{(}\alpha +\beta \ln\mathrm{(}x_i)))}{n\sum_{i=1}^n{(}\ln\mathrm{(}x_i))^2-(\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i))^2} \\ &=\frac{\alpha \cdot \left\{ n\sum_{i=1}^n{\ln \left( x_i \right)} \right\} +\beta \cdot \left\{ n\sum_{i=1}^n{\left( \ln \left( x_i \right) \right) ^2} \right\} -\alpha \cdot \left\{ n\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i) \right\} -\beta \cdot \left\{ (\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i))^2 \right\}}{n\sum_{i=1}^n{(}\ln\mathrm{(}x_i))^2-(\sum_{i=1}^n{\ln}(x_i))^2} \\ &=\beta \end{aligned}$$

三、（15 分）为准备研究生入学政治考试，很多学生花了不一样的时间在考试辅导班复习。当然还花了不一样的时间自己在家复习。请你设计一个回归模型，检验“在家复习的时间”与“在考试辅导班复习的时间”对最后考试成绩的影响是否一样。假设你可以得到随机抽取的 $n$ 个考生在家复习的时间 $x_i$，在考试辅导班复习的时间 $z_i$，和她最后的考试成绩 $y_i$。你还可以做其它你认为需要的合理的假设。请给出具体的模型和检验方法。

Solution:

可以考虑一个线性回归模型：

$$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + \varepsilon_i$$

其中，$y_i$ 是第 $i$ 个考生的考试成绩，$x_i$ 是第 $i$ 个考生在家复习的时间，$z_i$ 是第 $i$ 个考生在考试辅导班复习的时间，$\varepsilon_i$ 是误差项。

要检验“在家复习的时间”与“在考试辅导班复习的时间”对最后考试成绩的影响是否一样，就是要检验 $\beta$ 和 $\gamma$ 是否相等。也就是说，要检验以下假设：

$$H_0: \beta = \gamma \quad v.s. \quad H_1: \beta \neq \gamma$$

一个可能的检验方法是：

• 用最小二乘法估计模型参数，得到 $\hat{\alpha}$，$\hat{\beta}$ 和 $\hat{\gamma}$。
• 计算检验统计量：

$$t = \frac{\hat{\beta} - \hat{\gamma}}{\sqrt{S^2 \left( \frac{\sum x_i^2 + \sum z_i^2 - 2\sum x_iz_i}{\sum x_i^2 \sum z_i^2 - (\sum x_iz_i)^2} \right)}}$$

其中，$S^2$ 是残差平方和除以自由度 $n-3$ 得到的随机误差项方差的无偏估计。

根据自由度为 $n-3$ 的 $t$ 分布表，查找相应的临界值，判断 $t$ 统计量是否落在拒绝域内。如果是，则拒绝原假设，即认为两种复习时间对考试成绩的影响不一样；如果否，则不能拒绝原假设，即认为两种复习时间对考试成绩的影响没有显著差异。

对于该模型需要一些假设：

• $x_i$ 和 $z_i$ 都是非负的，且不会同时为零。
• $\mathbb{E}(\varepsilon_i) = 0$，即误差项的期望为零。
• $\mathbb{E}(\varepsilon_i | x_i, z_i) = 0$，即误差项和解释变量之间没有相关性。
• $\mathbb{E}(\varepsilon_i^2 | x_i, z_i) = \sigma^2$，即误差项的方差为常数。
• $\mathbb{E}(\varepsilon_i \varepsilon_j | x_i, x_j, z_i, z_j) = 0, i \neq j$，即不同观测值的误差项之间没有相关性。
  

四、（20 分）假定一个研究者要考查公司管理层的收入是否与公司管理的绩效有关，收集相关数据建立了一个回归模型，变量 $y$ 为CEO 年薪，变量 $x_1$ 为公司上一年年报收益，变量 $x_2$ 为公司上一年市场价格，变量 $x_3$ 为公司杠杆率，变量 $x_4$ 为公司大股东持股比例, 变量 $x_5$ 为公司规模. 使用的回归模型为：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \beta_4 x_4 + \beta_5 x_5 + \varepsilon$$

（1）请给出CEO年薪只与公司的报表收益和市场表现线性相关的零假设和备择假设，给出假设检验需要的限制模型的形式和检验统计量.

（2）假定通过上述50 家公司的数据计算得到的 $\beta_1$ 的估计值为0.3，相应的 $t$ 统计量为1.5。如果研究者又进一步随机的收集到了更多的数据，共计收集了200家上市公司的数据，使用200 家公司数据重新估计模型，请判断系数的估计值是否会改变，$t$ 统计量大概会是多少，模型的调整$R^2$是否会改变，如果会改变，给出变化的关系。

（3）请讨论在上面的模型中，如果公司的收益存在盈余管理，可能会对估计的结果产生什么影响，请说明理由，并指出在什么假设条件下，即使存在自变量的量度误差也不影响估计的无偏性？

Solution:

（1）CEO年薪只与公司的报表收益和市场表现线性相关的零假设和备择假设是：

$$H_0: \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0 \quad v.s. \quad H_1: \beta_3 \neq 0 \text{ 或 } \beta_4 \neq 0 \text{ 或 } \beta_5 \neq 0$$

假设检验需要的限制模型的形式是：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \varepsilon$$

检验统计量是：

$$F = \frac{(SSE_R - SSE_U)/(df_R - df_U)}{SSE_U/df_U}$$

其中，$SSE_R$ 是限制模型的残差平方和，$SSE_U$ 是不限制模型的残差平方和，$df_R$ 是限制模型的自由度，$df_U$ 是不限制模型的自由度。根据 $F$ 分布表，查找相应的临界值，判断 $F$ 统计量是否落在拒绝域内。如果是，则拒绝原假设，即认为 CEO 年薪不仅与公司的报表收益和市场表现线性相关，还与其他变量有关；如果否，则不能拒绝原假设，即认为 CEO 年薪只与公司的报表收益和市场表现线性相关。

（2）如果研究者又进一步随机地收集到了更多的数据，共计收集了 200 家上市公司的数据，使用 200 家公司数据重新估计模型：

系数的估计值可能会改变，因为更多的数据可能会提供更多的信息，从而影响参数的估计。$t$ 统计量可能会增大，因为更多的数据可能会减少标准误差，从而增加 $t$ 统计量的绝对值。具体地，如果 $\hat{\beta}_1$ 的估计值不变，那么 $t$ 统计量大概会是原来的 $\sqrt{4}$ 倍，即 3；如果 $\hat{\beta}_1$ 的估计值也改变了，那么 $t$ 统计量可能会更大或更小。

模型的调整 $R^2$ 可能会改变，因为更多的数据可能会影响模型对因变量的解释程度。具体地，如果 SSE 不变或减小，那么调整 $R^2$ 会增大；如果 SSE 增大超过一定程度，那么调整 $R^2$ 会减小。

（3）在上面的模型中，如果公司的收益存在盈余管理，可能会对估计的结果产生以下影响：

如果盈余管理是随机的，并且与 CEO 年薪无关，那么它只会增加误差项 $\varepsilon_i$ 的方差，从而增加参数估计的标准误差和置信区间的宽度，但不影响参数估计的无偏性和一致性。 如果盈余管理是系统性的，并且与 CEO 年薪有关，那么它会导致解释变量 $x_1$ 和误差项 $\varepsilon_i$ 之间存在相关性，从而造成内生性问题，导致参数估计的偏误和不一致性。例如，如果 CEO 年薪越高，盈余管理越严重，那么 $\beta_1$ 的估计值可能会高估真实值，因为它同时反映了 CEO 年薪对公司收益的直接影响和 CEO 年薪对盈余管理的间接影响。

在什么假设条件下，即使存在自变量的量度误差也不影响估计的无偏性？一个可能的假设条件是：

• 自变量的量度误差是随机的，并且与真实值无关，即 $\mathbb{E}(x_i^* - x_i) = 0$，$\mathbb{E}(x_i^* - x_i | x_i) = 0$，其中 $x_i^*$ 是观测值，$x_i$ 是真实值。
• 自变量的量度误差与误差项无关，即 $\mathbb{E}((x_i^* - x_i)\varepsilon_i) = 0$。

五、（15 分）下表是从Wind 资讯的行情数据中随机选取的部分中国同时在大陆的A 股和香港H 股上市的公司某一时刻的股票价格。假定我们希望通过这些资料来考查这两个市场是否存在定价的差异。收集到16 家公司的行情报价数据分别为：

股票简称	A股股价	B股股价
中国银行	3.37	3.46
广发证券	18.03	17.18
工商银行	4.41	4.67
中国石油	7.29	5.32
中国神华	18.25	17.38
江西铜业	15.59	9.59
交通银行	5.64	5.94
中国铝业	3.99	2.91
中兴通讯	15.53	10.66
中国中铁	8.65	6.3
中国中车	9.34	6.9
万科	24.2	20.5
新华制药	13.75	5.73
新华保险	43.12	34.45
广深铁路	4.38	4.15
中国铁建	10.53	10.2

通过计算得到16 家公司A 股和H 股的平均价格分别为：12.88 和10.33，标准差分别为10.15 和8.36。（后面的回答使用符号和公式也可以）

（1）请给出以这些股票为代表的两个市场股票价格的95%的置信区间。

（2）请根据以上的信息资料给出一个对这两个市场股票价格定价是否存在差异的一个判断性结论。

（3）如果上述公司的选取是随机的，我们想得到一个分辨这两个市场定价差异的1%显著水平判断，你认为大概需要收集多少家公司的数据就可以了。

Solution:

（1）这些股票为代表的两个市场股票价格的 95% 的置信区间是：

• A 股的置信区间：

$$\bar{x}_A \pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s_A}{\sqrt{n}}$$

其中，$\bar{x}_A$ 是 A 股的平均价格，$t_{\alpha/2,n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$s_A$ 是 A 股的标准差，$n$ 是样本大小。代入数据得：

$$12.88 \pm 2.131\frac{10.15}{\sqrt{16}}$$

化简得 $12.88 \pm 5.41$，即 A 股的置信区间是 $(7.47, 18.29)$。

• H 股的置信区间：

$$\bar{x}_H \pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s_H}{\sqrt{n}}$$

其中，$\bar{x}_H$ 是 H 股的平均价格，$t_{\alpha/2,n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$s_H$ 是 H 股的标准差，$n$ 是样本大小。代入数据得：

$$10.33 \pm 2.131\frac{8.36}{\sqrt{16}}$$

化简得：$10.33 \pm 4.45$, 即 H 股的置信区间是 $(5.88, 14.78)$。

（2）一个可能的假设检验的方法是：

定义两个市场股票价格之比为 $r_i = x_{Ai}/x_{Hi}$，其中 $x_{Ai}$ 是第 $i$ 家公司的 A 股价格，$x_{Hi}$ 是第 $i$ 家公司的 H 股价格。 假设两个市场股票价格之比的均值为 $\mu_r$，构造以下假设

$$H_0: \mu_r = 1 \quad v.s. \quad H_1: \mu_r \neq 1$$

用样本中的 A 股和 H 股之比的平均值 $\bar{r}$ 和标准差 $s_r$ 来估计 $\mu_r$ 和 $\sigma_r$。根据数据计算得到 $\bar{r} = 1.28$，$s_r = 0.36$。

• 计算检验统计量：$t = \frac{\bar{r} - 1}{s_r/\sqrt{n}}$

代入数据得：

$$t=\frac{1.28-1}{0.36/\sqrt{16}}=3.11$$

• 根据自由度为 $n-1 = 15$ 的 $t$ 分布表，查找相应的临界值，判断 $t$ 统计量是否落在拒绝域内。如果是，则拒绝原假设，即认为两个市场股票价格之比的均值不等于 1；如果否，则不能拒绝原假设，即认为两个市场股票价格之比的均值等于 1。在本例中，如果取显著水平为 5%，则临界值为 $\pm 2.131$，因为 $t > 2.131$，所以拒绝原假设，认为两个市场股票价格之比的均值不等于 1，即存在定价差异。

（3）我们令$\theta=\mu_A-\mu_H$, $\alpha=0.01$, 下面我们构造$\theta$的单侧置信区间.
考虑如下枢轴量

$$T=\frac{\bar{x}_A-\bar{x}_H-\theta}{s_r/\sqrt{n}}$$

在大样本情况下，$T\overset{\cdot}{\sim}N(0,1)$. 从而有

$$P(T<z_{1-\alpha})=P\left(\theta>\bar{x}_A-\bar{x}_H-z_{1-\alpha}\frac{s_r}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha$$

故$\theta$的置信区间为

$$[\bar{x}_A-\bar{x}_H-z_{1-\alpha}\frac{s_r}{\sqrt{n}},+\infty)$$

令$\bar{x}_A-\bar{x}_H-z_{1-\alpha}\frac{s_r}{\sqrt{n}}>0$，可以反解得到所需的样本量为

$$n=\left\lceil\left( z_{1-\alpha}\frac{s_r}{\bar{x}_A-\bar{x}_H}\right)^2\right\rceil.$$

带入$\bar{x}_A-\bar{x}_H=1.28, s_r=0.36, z_{1-\alpha}=2.33$即可.

如果上述公司的选取是随机的，我们想得到一个分辨这两个市场定价差异的 1% 显著水平判断，可以用以下公式估计所需的样本大小：

$$n = \left(\frac{z_{\alpha/2}s}{E}\right)^2$$

$$n = \left(\frac{z_{\alpha/2}s}{\bar{r}-1}\right)^2$$

其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的 $\alpha/2$ 分位数，$s$ 是总体标准差的估计值，$E$ 是期望的误差范围。假设我们用 A 股和 H 股之比作为分析对象，那么 $s$ 可以用样本中 A 股和 H 股之比的标准差来估计。根据数据计算得到 $s = 0.36$。假设我们期望的误差范围是 $E = 0.05$，那么代入公式得：

$$n=\left( \frac{2.576\times 0.36}{0.05} \right) ^2=343.999$$

向上取整得：$n = 343$, 所以大概需要收集 343 家公司的数据才能达到 1% 的显著水平判断。

注: 用股价之比的原因是，不同的公司可能有不同的股票总数和面值，所以单纯比较股价的大小可能没有意义。用股价之比可以消除这种差异，反映出两个市场对同一公司的相对定价水平。如果用股价之差来做，需要注意的是股价之差可能受到公司规模的影响，即大型公司的股价之差可能比小型公司的股价之差更大。
注: 本题也可采用作商检验，或许更为合适。但是题目中并没有出现特别大(成百上千)的数据，而且题干给出了所有股价的平均数，因此我们采用了作差检验。

2017微观部分解析

一、 (15分) 考虑下面三种情形，并分别作答：

1. 一个消费者消费牛肉（$b$）和胡萝卜（$c$），效用函数为 $U(b, c) = b^{0.5} c^{0.5}$，她的初始赋予为 2 公斤牛肉和 3 公斤胡萝卜，她可以在市场上出售自己已有的赋予。请问是否存在一组市场价格使她愿意直接消费自己的赋予。

2. 一个消费者消费饮料（$b$）和薯片（$c$），他的效用函数是 $U(b, c) = \min\{b, c\}$，他对于两种商品的初始赋予为 2 公斤薯片和 3 升饮料，他可以在市场上出售自己已有的赋予。请问是否存在一组市场价格使他愿意直接消费自己的赋予。

3. 护林员甲住在郊连山深处，他消费两种产品，汽油和牛肉面。由于他的住处距离最近的牛肉面馆 30 公里，去吃面要开车前往，他每天必须先消耗 6 升汽油，余下的钱全部用于购买牛肉面。请问他的偏好可以用无差异曲线描述吗？如果可以，请画图。

Solution：
(1) 根据赋予算出自己的需求量，使需求量等于赋予即可存在。设牛肉价格为 $p$，胡萝卜价格为 1，则有

$$\max \ v = b^{0.5} c^{0.5},\quad \text{s.t.} \quad pb + c = 2p + 3$$

解得：$b = \frac{2p + 3}{2p}$, $c = \frac{2p + 3}{2}$.
令 $b = 2$，得 $p = \frac{3}{2}$。

(2) 不存在，$v = \min(b, c)$ 最优点在 $b = c$ 处实现，由于初始 $b \neq c$，故无法实现消费其赋予。

(3) 必须先消费的汽油量是一定的，剩余的钱不论有多少都是花在牛肉面上。此时钱的增加只反映在牛肉面上，也即汽油无收入效应，牛肉面有收入效应。此时应为拟线性的无差异曲线，收入效应全部体现牛肉面上。

二、 (15分) 一个农民有 10000 元资金，年初他可以用来购买水稻种子（$s$）以及保险（$i$）。如果该年天气好，他可以消费水稻种植的产出，产出的大米量（公斤）为 $y = 10s^{0.5}$；如果天气不好则水稻绝收，他的消费完全来自保险公司的理赔，保险公司就每份保险赔付给他一公斤大米。天气好的概率为 $\pi = 0.8$，种子价格（$p$）为每公斤 1 元，保险价格（$q$）为 2 元一份。

1. 假设农民的效用函数为 $U = \pi \log(C_1) + (1 - \pi) \log(C_2)$，$C_1$ 和 $C_2$ 分别是天气好和天气不好的大米消费量。请问他会买多少公斤种子，多少份保险？

2. 假设农民的效用函数为 $U = \min\{\log(C_1), \log(C_2)\}$，请问他会买多少公斤种子？

Solution：
(1) 解：农民的目标决策是：

$$\max \ U = \pi \log(C_1) + (1 - \pi) \log(C_2)$$

$$\text{s.t.} \quad s + 2i = 10000$$

$$C_1 = 10s^{0.5}, \quad C_2 = i, \quad \pi = 0.8$$

代入整理得：

$$\max \ U = 0.8 \log(10) + 0.4 \log(10000 - 2i) + 0.2 \log(i)$$

一阶条件（F.O.C.）为：

$$0.4 \cdot \frac{-2}{10000 - 2i} + 0.2 \cdot \frac{1}{i} = 0$$

解得：

$$i = \frac{5000}{3}, \quad s = \frac{20000}{3}$$

因此，农民会购买 $\frac{20000}{3}$ 单位种子，$\frac{5000}{3}$ 单位保险。

(2) 解：农民的目标决策是：

$$\max \ U = \min\{\log(C_1), \log(C_2)\}$$

$$\text{s.t.} \quad s + 2i = 10000$$

$$C_1 = 10s^{0.5}, \quad C_2 = i$$

最优时，必有 $\log(C_1) = \log(C_2)$ 成立，即 $C_1 = C_2$。因此，

$$10s^{0.5} = i$$

代入约束条件，得：

$$0.01 \cdot i^2 + 2i - 10000 = 0$$

解得：

$$i = -100 \pm 50 \sqrt{404} \approx -100 + 1000$$

舍去负数解，得 $i = 900$，$s = 8100$。

三、 (15分) 假设城市 W 由两座电厂（A 和 B）提供电力。A 和 B 均是热力电厂，燃煤烧煤供电的同时会排放空气污染物。为改善空气质量，W 市决定要求 A 和 B 电厂减排。A 电厂减少排放 $x_A$ 万吨污染物的总成本为 $C_A(x_A) = 3x_A^2$。B 电厂减少排放 $x_B$ 万吨污染物的总成本为 $C_B(x_B) = 5x_B^2 + 10x_B$。W 市政府聘请了环保专家评估减少污染物排放将会给 W 市带来的收益。经测算，如果 A 和 B 分别减排 $x_A$ 和 $x_B$ 万吨，W 市获得的总收益为：$120 \times (x_A + x_B)$。请依据以上信息回答下列问题：

1. 计算 A 和 B 的社会最优减排量。
2. W 市政府希望通过征收“排污税”降低 A 和 B 的污染物排放量。
   (a) 请问 W 市政府需对每万吨污染物征收多少“排污税”才能使 A 和 B 分别达到第 (1) 题的最优排量？
   (b) W 市征收如上“排污税”的情形下，请用等式列出 A 和 B 电厂各自决定减排量所面对的优化问题。并证明 A 和 B 各自选择的最优减排量与第 (1) 题中的社会最优减排量相同。
3. 假设 W 市政府决定停止征收“排污税”，并出台相关规定强制要求电厂减少污染物排放量。有建议称 W 市政府要求 A 和 B 电厂每年分别减排 1 万吨污染物。请通过数学推导与文字说明论证这个建议并不是最有效率的。

Solution：
(1) 社会最优的减排量决策是：

$$\max \ 120 \cdot (x_A + x_B) - 3 \cdot x_A^2 - 5 \cdot x_B^2 - 10 \cdot x_B$$

一阶条件（F.O.C.）为：

$$120 - 6x_A = 0$$

$$120 - 10x_B - 10 = 0$$

解得：

$$x_A = 20, \quad x_B = 11$$

(2) (a) 应对每万吨污染物征税 $t = 120$。

(b) 在 $t = 120$ 的情况下，A 电厂的 决策目标 是减少排放总成本最小化：

$$\min \ 3 \cdot x_A^2 - 120 \cdot x_A$$

一阶条件为：

$$6x_A - 120 = 0$$

解得 $x_A = 20$，B 电厂的决策目标是减少排放总成本最小化：

$$\min \ 5 \cdot x_B^2 + 10 \cdot x_B - 120 \cdot x_B$$

一阶条件为：

$$10x_B + 10 - 120 = 0$$

解得 $x_B = 11$，与（1）题中的社会最优减排量相同。

(3) 考虑社会总效益的表达式：

$$120 \cdot (x_A + x_B) - 3 \cdot x_A^2 - 5 \cdot x_B^2 - 10 \cdot x_B$$

如果 $x_A = x_B = 1$，一阶条件为：

$$120 - 6x_A > 0$$

$$120 - 10x_B - 10 > 0$$

这说明，增加 $x_A$ 和 $x_B$ 会增加社会总效益。因此，各减排 1 万吨污染物并不是最有效率的。

四、 (30分) 公司1和公司2生产相同的产品，而且成本为0。两个公司同时选择生产数量，分别满足 $q_1 \geq 0$ 和 $q_2 \geq 0$。与之相对应的需求函数是 $P(q) = 12 - q$，其中 $q = q_1 + q_2$。

1. 找到本博弈的纳什均衡 $(q_1, q_2)$，以及纳什均衡下两个公司的利润。

2. 假定公司2被强迫生产 $q_2 = 0$，而公司1是一个垄断经营者，面对的需求函数是 $P(q) = 12 - q$ 且成本为0。公司1的利润是多少？

3. 现在假定这个博弈过程有三个阶段。

   • 第一步骤：公司1选择是否给予公司2一笔贿赂，让公司2不参与市场竞争。
   • 第二步骤：公司2决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。
   • 第三步骤 a： 如果公司2接受了公司1的贿赂，那么公司1就是这个市场上的垄断经营者。公司1的成本依然为0，面对的需求函数数量是 $P(q) = 12 - q$。因此公司1会获得垄断者的利润，而公司2获得这笔贿赂。
   • 第三步骤 b：如果公司2拒绝了这笔贿赂，那么两个公司会进行第 (1) 问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第 (1) 问中所计算。

   请找到这一新规则下的子博弈完美均衡 (subgame perfect equilibrium) 策略。在这一博弈完美均衡下，公司1和公司2的利润分别是多少？

4. 现在假定有一个新的公司3加入这个市场，公司3的产量为 $q_3 \geq 0$，单位成本为2。与之相对应的需求函数是 $P(q) = 12 - q$，其中 $q = q_1 + q_2 + q_3$。找到本博弈的纳什均衡 $(q_1, q_2, q_3)$，以及纳什均衡下三个公司的利润。

5. 现在假定这个博弈过程有三个阶段。

   • 第一步骤：公司1选择是否给予公司3一笔贿赂，让公司3不参与市场竞争。
   • 第二步骤：公司3决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。
   • 第三步骤 a: 如果公司3接受了公司1的贿赂，那么公司1和公司2就继续第(3)问中所描述的博弈。
   • 第三步骤 b: 如果公司3拒绝了这笔贿赂，那么三个公司会进行第(4)问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第(4)问中所计算。

   请找到这一新规则下的子博弈完美均衡策略。在这一子博弈完美均衡下，公司1、公司2以及公司3的利润分别是多少？

Solution：

(1) 给定公司1的产量，公司2的决策是：

$$\max \pi_2 = (12 - q_1 - q_2) q_2$$

F.O.C.：

$$12 - 2q_2 - q_1 = 0$$

给定公司2的产量，公司1的决策是：

$$\max \pi_1 = (12 - q_1 - q_2) q_1$$

F.O.C.：

$$12 - 2q_1 - q_2 = 0$$

解得：

$$q_1 = q_2 = 4, \quad \pi_1 = \pi_2 = 16$$

(2) 公司1的垄断利润最大化决策是：

$$\max \pi_1^m = (12 - q_1) q_1$$

F.O.C.：

$$12 - 2q_1 = 0$$

解得：$q_1 = 6$，垄断利润为 $\pi_1^m = 36$。

(3) 设贿赂金额为 $A$。

公司2的精炼策略：

• 第二阶段：若公司1贿赂金额 $A \geq 16$，则接受贿赂金；若 $A < 16$，则拒绝贿赂金。
• 第三阶段：若第二阶段接受了贿赂金，则退出竞争；若第二阶段拒绝了贿赂金，或者公司1不贿赂，此时选择古诺产量 $q_2 = 4$，获得古诺利润16。

公司1的精炼策略：

• 第一步骤：选择贿赂，金额 $A = 16$。
• 第三阶段：若公司2接受贿赂，那么生产 $q_1 = 6$，获得垄断利润20；若公司2拒绝贿赂，那么公司1在第三阶段生产 $q_1 = 4$，获得古诺利润16。

均衡结果：公司1贿赂金额为 $A = 16$，公司2接受赎赎金，公司1垄断市场。

$$\pi_1 = 20, \quad \pi_2 = 16.$$

(4) 此时求解三个企业的古诺均衡，注意：企业 3 边际成本 $> 0$。
给定公司 2 和 3 的产量 $q_2, q_3$，公司 1 的决策是：

$$\max \; \pi_1 = (12 - q_1 - q_2 - q_3) q_1$$

F.O.C.：

$$12 - 2q_1 - q_2 - q_3 = 0$$

给定公司 1 和 3 的产量 $q_1, q_3$，公司 2 的决策是：

$$\max \; \pi_2 = (12 - q_1 - q_2 - q_3) q_2$$

F.O.C.：

$$12 - 2q_2 - q_1 - q_3 = 0$$

给定公司 1 和 2 的产量 $q_1, q_2$，公司 3 的决策是：

$$\max \; \pi_3 = (12 - q_1 - q_2 - q_3) q_3$$

F.O.C.：

$$12 - 2q_3 - q_1 - q_2 = 0$$

解上述三个一阶条件，有：

$$q_1 = q_2 = 3.5, \quad q_3 = 1.5$$

此时各企业利润为：

$$\pi_1 = \pi_2 = 12.25, \quad \pi_3 = 2.25.$$

(5) 记公司 1 给公司 3 的贿赂金额为 $B$，给公司 2 的贿赂金额为 $A$。

我们作下述分析:
考虑公司 3：
(i) 若 $B \geq 2.25$，则接受贿赂；
(ii) 若 $B < 2.25$，则拒绝贿赂。
因此，若公司 1 决定贿赂公司 3，则最优的 $B=2.25$。

**公司 3 接受贿赂之后，如果公司 1 贿赂公司 2：
(i) 若 $A \geq 16$，则公司 2 接受赎赎并不参与竞争；
(ii) 若 $A < 16$，则公司 2 拒绝贿赂。
因此，若公司 1 决定贿赂公司 2，则最优的 $A=16$。

总结：
(i) 若公司 1 贿赂公司 2，应选择 $A=16$，$B=2.25$，此时公司 2 接受贿赂，公司 1 获得垄断利润 $\pi_1^m = 36 - 16 - 2.25 = 17.25$；
(ii) 若公司 1 不贿赂公司 2且贿赂公司3，会获得古诺利润

$$\pi_1 = 16 \quad \pi_1 = 16 < 17.25.$$

(iii) 若公司 1 不贿赂公司 2且不贿赂公司3，会获得古诺利润

$$\pi_1 = 12.25 \quad \pi_1 = 12.25 < 16<17.25.$$

因此，公司 1 会决定贿赂，一定贿赂到底（贿赂公司 2 和公司 3），最终获得 17.25 的垄断利润。

公司 1 的精炼策略:

1. 第一阶段：给公司 3 贿赂金额 $B=2.25$
2. 第三阶段：
   • 若公司 3 拒绝贿赂，则公司 1 生产古诺产量 3.5，获得利润 12.25；
   • 若公司 3 接受贿赂，则继续给公司 2 贿赂，金额 $A=16$：
     • 若公司 2 接受，则生产垄断产量 6，获得利润 18.75；
     • 若公司 2 拒绝，则生产古诺产量 4，获得利润 $16 - B = 13.75$。

公司 2 的精炼策略:

1. 第三阶段：
   • 若公司 3 拒绝贿赂，那么公司 2 生产古诺产量 3.5，获得利润 12.25；
   • 若公司 3 接受贿赂（此时公司 3 退出市场竞争，只有 1 和 2），那么：
     • 当公司 1 贿赂金额 $A \geq 16$ 时，接受贿赂，退出市场竞争；
     • 当公司 1 贿赂金额 $A < 16$ 时，拒绝贿赂，生产古诺产量 4，获得利润 16。

公司 3 的精炼策略:

1. 第二阶段：
   • 若公司 1 贿赂金额 $B \geq 2.25$，接受贿赂；
   • 若公司 1 贿赂金额 $B < 2.25$，拒绝贿赂。
2. 第三阶段：
   • 若接受了公司 1 的贿赂，退出市场竞争；
   • 若拒绝了公司 1 的贿赂，生产古诺产量 1.5，获得利润 2.25；
   • 若公司 1 在第一阶段不贿赂自己，生产古诺产量 $q_1=1.5$，获得利润 2.25。

在各方的精炼策略下，均衡结果：公司 1 贿赂 $A=16$，$B=2.25$，获得垄断利润 17.25；公司 2 和 3 接受贿赂后退出市场竞争。