北京大学-431金融学综合-2017年

2017统计部分真题

一、(15分) 公司甲同时在大陆A 股及香港H 股上市，现有它在A 股市场和H 股市场上过去一年每天的回报预测值 $X_i, Y_i$ 。

（1）请给出两种检验方法，检验该股票在A 股和H 股上的回报均值是否相等，需要给出具体的计算过程。

（2）讨论这两种检验隐含的假设条件。根据你的假设条件讨论，你认为两种检验有无差异? 如果有, 哪种检验更合理？

二、（15 分）给定模型 $\ln(y) = \alpha + \beta \ln(x) + \varepsilon$ ，和一组观测值 $(x_i,y_i), i= 1,2,\cdots, n$ .

（1）请给出 $\beta$ 的经济学含义。

（2）请给出 $\beta$ 的一个估计。

（3）验证你上面给的估计的无偏性（要给出相应的假设条件）

三、（15 分）为准备研究生入学政治考试，很多学生花了多少不一的时间在考试辅导班复习。当然还花了多少不一的时间自己在家复习。请你设计一个回归模型，检验“在家复习的时间”与“在考试辅导班复习的时间”对最后考试成绩的影响是否一样。假设你可以得到随机抽取的 $n$ 个考生在家复习的时间 $x_i$ ，在考试辅导班复习的时间 $z_i$ , 和她最后的考试成绩 $y_i$ 。你还可以做其它你认为需要的合理的假设。请给出具体的模型和检验方法。

四、（20 分）假定一个研究者要考查公司管理层的收入是否与公司管理的绩效有关，收集相关数据建立了一个回归模型，变量 $y$ 为CEO 年薪，变量 $x_1$ 为公司上一年年报收益，变量 $x_2$ 为公司上一年市场价格，变量 $x_3$ 为公司杠杆率，变量 $x_4$ 为公司大股东持股比例, 变量 $x_5$ 为公司规模. 使用的回归模型为：

y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \beta_4 x_4 + \beta_5 x_5 + \varepsilon

（1）请给出CEO年薪只与公司的报表收益和市场表现线性相关的零假设和备择假设，给出假设检验需要的限制模型的形式和检验统计量.

（2）假定通过上述50 家公司的数据计算得到的 $\beta_1$ 的估计值为0.3，相应的 $t$ 统计量为1.5。如果研究者又进一步随机的收集到了更多的数据，共计收集了200家上市公司的数据，使用200 家公司数据重新估计模型，请判断系数的估计值是否会改变， $t$ 统计量大概会是多少，模型的调整 $R^2$ 是否会改变，如果会改变，给出变化的关系。

（3）请讨论在上面的模型中，如果公司的收益存在盈余管理，可能会对估计的结果产生什么影响，请说明理由，并指出在什么假设条件下，即使存在自变量的量度误差也不影响估计的无偏性？

五、（15 分）下表是从Wind 资讯的行情数据中随机选取的部分中国同时在大陆的A 股和香港H 股上市的公司某一时刻的股票价格。假定我们希望通过这些资料来考查这两个市场是否存在定价的差异。收集到16 家公司的行情报价数据分别为：

股票简称	A股股价	B股股价
中国银行	3.37	3.46
广发证券	18.03	17.18
工商银行	4.41	4.67
中国石油	7.29	5.32
中国神华	18.25	17.38
江西铜业	15.59	9.59
交通银行	5.64	5.94
中国铝业	3.99	2.91
中兴通讯	15.53	10.66
中国中铁	8.65	6.3
中国中车	9.34	6.9
万科	24.2	20.5
新华制药	13.75	5.73
新华保险	43.12	34.45
广深铁路	4.38	4.15
中国铁建	10.53	10.2

通过计算得到16 家公司A 股和H 股的平均价格分别为：12.88 和10.33，标准差分别为10.15 和8.36。（后面的回答使用符号和公式也可以）

（1）请给出以这些股票为代表的两个市场股票价格的95%的置信区间。

（2）请根据以上的信息资料给出一个对这两个市场股票价格定价是否存在差异的一个判断性结论。

（3）如果上述公司的选取是随机的，我们想得到一个分辨这两个市场定价差异的1%显著水平判断，你认为大概需要收集多少家公司的数据就可以了。

2017微观部分真题

一、 (15分) 考虑下面三种情形，并分别作答：

一个消费者消费牛肉（ $b$ ）和胡萝卜（ $c$ ），效用函数为 $U(b, c) = b^{0.5} c^{0.5}$ ，她的初始赋予为 2 公斤牛肉和 3 公斤胡萝卜，她可以在市场上出售自己已有的赋予。请问是否存在一组市场价格使她愿意直接消费自己的赋予。
一个消费者消费饮料（ $b$ ）和薯片（ $c$ ），他的效用函数是 $U(b, c) = \min\{b, c\}$ ，他对于两种商品的初始赋予为 2 公斤薯片和 3 升饮料，他可以在市场上出售自己已有的赋予。请问是否存在一组市场价格使他愿意直接消费自己的赋予。
护林员甲住在郊连山深处，他消费两种产品，汽油和牛肉面。由于他的住处距离最近的牛肉面馆 30 公里，去吃面要开车前往，他每天必须先消耗 6 升汽油，余下的钱全部用于购买牛肉面。请问他的偏好可以用无差异曲线描述吗？如果可以，请画图。

二、 (15分) 一个农民有 10000 元资金，年初他可以用来购买水稻种子（ $s$ ）以及保险（ $i$ ）。如果该年天气好，他可以消费水稻种植的产出，产出的大米量（公斤）为 $y = 10s^{0.5}$ ；如果天气不好则水稻绝收，他的消费完全来自保险公司的理赔，保险公司就每份保险赔付给他一公斤大米。天气好的概率为 $\pi = 0.8$ ，种子价格（ $p$ ）为每公斤 1 元，保险价格（ $q$ ）为 2 元一份。

假设农民的效用函数为 $U = \pi \log(C_1) + (1 - \pi) \log(C_2)$ ， $C_1$ 和 $C_2$ 分别是天气好和天气不好的大米消费量。请问他会买多少公斤种子，多少份保险？
假设农民的效用函数为 $U = \min\{\log(C_1), \log(C_2)\}$ ，请问他会买多少公斤种子？

三、 (15分) 假设城市 W 由两座电厂（A 和 B）提供电力。A 和 B 均是热力电厂，燃煤烧煤供电的同时会排放空气污染物。为改善空气质量，W 市决定要求 A 和 B 电厂减排。A 电厂减少排放 $x_A$ 万吨污染物的总成本为 $C_A(x_A) = 3x_A^2$ 。B 电厂减少排放 $x_B$ 万吨污染物的总成本为 $C_B(x_B) = 5x_B^2 + 10x_B$ 。W 市政府聘请了环保专家评估减少污染物排放将会给 W 市带来的收益。经测算，如果 A 和 B 分别减排 $x_A$ 和 $x_B$ 万吨，W 市获得的总收益为： $120 \times (x_A + x_B)$ 。请依据以上信息回答下列问题：

计算 A 和 B 的社会最优减排量。
W 市政府希望通过征收“排污税”降低 A 和 B 的污染物排放量。
(a) 请问 W 市政府需对每万吨污染物征收多少“排污税”才能使 A 和 B 分别达到第 (1) 题的最优排量？
(b) W 市征收如上“排污税”的情形下，请用等式列出 A 和 B 电厂各自决定减排量所面对的优化问题。并证明 A 和 B 各自选择的最优减排量与第 (1) 题中的社会最优减排量相同。
假设 W 市政府决定停止征收“排污税”，并出台相关规定强制要求电厂减少污染物排放量。有建议称 W 市政府要求 A 和 B 电厂每年分别减排 1 万吨污染物。请通过数学推导与文字说明论证这个建议并不是最有效率的。

四、 (30分) 公司1和公司2生产相同的产品，而且成本为0。两个公司同时选择生产数量，分别满足 $q_1 \geq 0$ 和 $q_2 \geq 0$ 。与之相对应的需求函数是 $P(q) = 12 - q$ ，其中 $q = q_1 + q_2$ 。

找到本博弈的纳什均衡 $(q_1, q_2)$ ，以及纳什均衡下两个公司的利润。
假定公司2被强迫生产 $q_2 = 0$ ，而公司1是一个垄断经营者，面对的需求函数是 $P(q) = 12 - q$ 且成本为0。公司1的利润是多少？
现在假定这个博弈过程有三个阶段。
- 第一步骤：公司1选择是否给予公司2一笔贿赂，让公司2不参与市场竞争。
- 第二步骤：公司2决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。
- 第三步骤 a：如果公司2接受了公司1的贿赂，那么公司1就是这个市场上的垄断经营者。公司1的成本依然为0，面对的需求函数数量是 $P(q) = 12 - q$ 。因此公司1会获得垄断者的利润，而公司2获得这笔贿赂。
- 第三步骤 b：如果公司2拒绝了这笔贿赂，那么两个公司会进行第 (1) 问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第 (1) 问中所计算。
请找到这一新规则下的子博弈完美均衡 (subgame perfect equilibrium) 策略。在这一博弈完美均衡下，公司1和公司2的利润分别是多少？
现在假定有一个新的公司3加入这个市场，公司3的产量为 $q_3 \geq 0$ ，单位成本为2。与之相对应的需求函数是 $P(q) = 12 - q$ ，其中 $q = q_1 + q_2 + q_3$ 。找到本博弈的纳什均衡 $(q_1, q_2, q_3)$ ，以及纳什均衡下三个公司的利润。
现在假定这个博弈过程有三个阶段。
- 第一步骤：公司1选择是否给予公司3一笔贿赂，让公司3不参与市场竞争。
- 第二步骤：公司3决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。
- 第三步骤 a: 如果公司3接受了公司1的贿赂，那么公司1和公司2就继续第(3)问中所描述的博弈。
- 第三步骤 b: 如果公司3拒绝了这笔贿赂，那么三个公司会进行第(4)问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第(4)问中所计算。
请找到这一新规则下的子博弈完美均衡策略。在这一子博弈完美均衡下，公司1、公司2以及公司3的利润分别是多少？